Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề 4)

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(-x+1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{x-1}\right)=0$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(-x+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{x-1}\right)=0$.

Do đó $y=-x+1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) $y^{\prime }=-1+\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$$=\frac{2x-x^2}{{\left(x-1\right)}^2},x\ne 1$.

c) Có $y^{\prime }=\frac{2x-x^2}{{\left(x-1\right)}^2}=0$$\iff x=0$ hoặc $x=2$.

Bảng biến thiên

y=x−1 là tiệm cận xiên (ảnh 1)">

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị cực tiểu của hàm số $y=f\left(x\right)$ là $2$.

d) Với $x>1$, ta có:

$x^2+\left(m-2\right)x-m+2\ge 0$$\iff m\left(x-1\right)\ge -x^2+2x-2$$\iff m\ge \frac{-x^2+2x-2}{x-1}$ hay $f\left(x\right)\le m$.

Từ bảng biến thiên, ta có $f\left(x\right)\le -2$ với mọi $x>1$.

Suy ra nếu $m\ge -2$ thì bất phương trình $f\left(x\right)\le m$ nghiệm đúng với mọi $x>1$.

a) S, b) S, c) S, d) Đ

ABCD cạnh $a$. $E$ là điểm trên đoạn $CD$ sao cho $ED=2CE$. (ảnh 1)">

a) Các vectơ (khác vectơ $$\overrightarrow{0}$$) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện là: $$\overrightarrow{AB}$$,$$\overrightarrow{AC}$$,$$\overrightarrow{AD}$$,$$\overrightarrow{BA}$$,$$\overrightarrow{BC}$$,$$\overrightarrow{B\mathrm{D}}$$,$$\overrightarrow{CA}$$,$$\overrightarrow{CB}$$,$$\overrightarrow{C\mathrm{D}}$$,$$\overrightarrow{DA}$$,$$\overrightarrow{DB}$$,$$\overrightarrow{DC}$$.

Do đó có $$12$$ vectơ thỏa mãn yêu cầu.

b) $$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=180^{\circ }-(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=180^{\circ }-\widehat{ABC}=120^{\circ }$$.

c) $$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$$.

Do đó $$m=0$$,$$n=\frac{2}{3}$$,$$p=\frac{1}{3}$$. Suy ra $$m+n+p=1$$.

d) Ta có: $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}\right)-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AB}$

$=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)-\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$.

Suy ra: $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AD}.\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{2}{3}.\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}.{\overrightarrow{AD}}^2-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}$

$=\frac{2}{3}.a.a.\cos 60^{\circ }+\frac{1}{3}{a}^2-a.a.\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{6}$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục của Chi là $40-15=25$ (phút).

b) Ở bạn Bình.

Tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=20+\frac{\frac{30}{4}-5}{8}.5=\frac{345}{16}$.

c) Ở bạn Chi.

Tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=15+\frac{\frac{30}{4}-0}{10}.5=18,75$.

Tứ phân vị thứ ba là $Q_3=25+\frac{\frac{3.30}{4}-\left(10+10\right)}{5}.5=27,5$.

Vậy khoảng tứ phân vị là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=8,75$.

d) Thời gian trung bình bạn Bình tập thể dục buổi sáng là

$\overline{x}=\frac{17,5.5+22,5.8+27,5.10+32,5.4+37,5.3}{30}=\frac{157}{6}$.

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bạn Bình là

$s^2=\frac{17,5^2.5+22,5^2.8+27,5^2.10+32,5^2.4+37,5^2.3}{30}-{\left(\frac{157}{6}\right)}^2=\frac{314}{9}$.

Dựa vào đồ thị ta có $$f\left(f\left(x\right)\right)=0\iff [\begin{array}{l}f\left(x\right)=a\left(-1<a<0\right)\\ f\left(x\right)=1\\ f\left(x\right)=b\left(2<b<3\right)\end{array}$$ .

Phương trình $$f\left(x\right)=a$$ với $$-1<a<0$$ có ba nghiệm thực phân biệt.

Phương trình $$f\left(x\right)=1$$ có ba nghiệm thực phân biệt.

Phương trình $$f\left(x\right)=b$$ với $$2<b<3$$ có một nghiệm .

Vậy phương trình $$f\left(f\left(x\right)\right)=0$$ có $7$ nghiệm thực phân biệt.

Kí hiệu $x$ là hoành độ của điểm $B$ $\left(0<x<3\right)$.

Ta có $AB=2x,BC=9-x^2$.

Từ đó, diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là $S\left(x\right)=18x-2x^3,0<x<3$.

Ta có $S^{\prime }\left(x\right)=18-6x^2$, $S^{\prime }\left(x\right)=0\iff x^2=3\iff x=\sqrt{3}$ (do $x>0$).

Bảng biến thiên

ABCD có hai đỉnh di động trên đồ thị hàm số $y=9-x^2$ trên khoảng (ảnh 2)">

Từ đó $\underset{\left(0;3\right)}{\max }S\left(x\right)=S\left(\sqrt{3}\right)=12\sqrt{3}\approx 20,8$.

$Oxyz$ (ảnh 2)">

Khối đa diện tạo ra mái nhà được tách thành 3 khối là 2 khối chóp có đáy là hình chữ nhật và khối lăng trụ đứng tam giác nên $V=V_{S.ADMN}+V_{SAD.KBC}+V_{K.BCFE}$.

Mà $V_{S.ADMN}=V_{K.BCFE}$

Theo hình vẽ hệ trục có $N\left(2;2;0\right)$suy ra $\{\begin{array}{l}MN=4\\ AN=2\\ AB=8\end{array}$

Khi đó, $V=2V_{S.ADMN}+V_{SAD.KBC}=2.\frac{1}{3}.4.2.3+\frac{1}{2}.4.3.8=64$(đvtt).

Ta có bảng tần số ghép nhóm

Tứ phân vị thứ nhất $Q_1=8+\frac{\frac{50}{4}-4}{12}\cdot \left(10-8\right)=\frac{113}{12}$.

Tứ phân vị thứ ba $Q_3=12+\frac{\frac{50\cdot 3}{4}-36}{8}\cdot \left(14-12\right)=\frac{99}{8}$.

Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{99}{8}-\frac{113}{12}=\frac{71}{24}\approx 2,96$.