Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 2 (có đáp án)

Lời giải

a) Đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy hệ số $$a<0$$.

b) Sai. Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có điểm cực tiểu là $\left(-1;-1\right)$.

c) Đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-1;1\right)$.

d) Sai. Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left(-1;-1\right)$ và $\left(1;3\right)$ nên ta có hệ phương trình

$$\{\begin{array}{l}f\left(-1\right)=-1\Rightarrow -a+b-c+d=-1\\ f\left(1\right)=3\Rightarrow a+b+c+d=3\end{array}\Rightarrow a+c=2(1)$$.

$$f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c$$ có hai nghiệm $$x=1,x=-1$$ nên $$\{\begin{array}{l}3a+2b+c=0\\ 3a-2b+c=0\end{array}(2)$$.

Từ (1) và (2), giải hệ phương trình ta suy ra $$a=-1;b=0;c=3;d=1$$.

Do đó $$f\left(x\right)=-x^3+3x+1\Rightarrow f\left(3\right)=-17$$.

Lời giải

a) Đúng. Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình lập phương nên $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình chữ nhật.

Suy ra $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$.

b) Đúng. Ta có: $A^{\prime }{C}^{\prime }=\sqrt{A^{\prime }{B^{\prime }}^2+B^{\prime }{C^{\prime }}^2}=\sqrt{2}$; $A^{\prime }C=\sqrt{A^{\prime }{C^{\prime }}^2+C{C^{\prime }}^2}=\sqrt{3}$.

Suy ra $\left|\overrightarrow{A^{\prime }C}\right|=A^{\prime }C=\sqrt{3}$. Tương tự, $\left|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|=A{C}^{\prime }=\sqrt{3}$.

c) Đúng. Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }A}$.

Mà $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{D^{\prime }D}$. Do đó, $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D^{\prime }D}$.

d) Sai. Ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }C}\cdot \overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)$

            $=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-{\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{AD}}^2-\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{D{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AB}$

            $=0-1^2+1^2-0+0-0=0$.

Vậy $\overrightarrow{A^{\prime }C}\cdot \overrightarrow{BD}=0$.

Lời giải

Giả sử chi phí sản suất các mặt hình trụ là như nhau và các mép nối không đáng kể.

Ta có, thể tích hình trụ là $V=\pi r^{2}h=330(\mathrm{ml})=330(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3)\Rightarrow h=\frac{330}{\pi r^2}(\mathrm{cm}).$

Diện tích toàn phần của hộp đựng là: $S\left(r\right)=2\pi r^2+2\pi r\cdot h=2\pi r^2+\frac{660}{r}$.

Ta có $S^{\prime }\left(r\right)=4\pi r-\frac{660}{r^2};S^{\prime }\left(r\right)=0\Rightarrow r^3=\frac{165}{\pi }\Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{165}{\pi }}(\mathrm{cm})$.

Bảng biến thiên

$330\mathrm{ml}.$ Tìm bán kính của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (đơn vị: cm). (ảnh 1)">

Từ bảng biến thiên, ta kết luận $r=\sqrt[3]{\frac{165}{\pi }}(\mathrm{cm})$ thì chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất.

Lời giải

Gọi $x(km/h)$ là vận tốc của tàu, $x>0$.

Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là: $\frac{1}{x}$ (giờ).

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất để tàu chạy 1 km là: $\frac{1}{x}\cdot 480=\frac{480}{x}$ (nghìn đồng).

Hàm chi phí cho phần thứ hai là $p=k{x}^2$ (nghìn đồng/ giờ).

Khi $x=10,p=10\Rightarrow k=0,1$ nên $p=0,1x^2$ (nghìn đồng/ giờ).

Do đó chi phí phần thứ hai để tàu chạy 1 km là: $\frac{1}{x}\cdot 0,1x^2=0,1x$ (nghìn đồng).

Vậy tổng chi phí nhiên liệu để tàu chạy 1 km đường sông: $f\left(x\right)=\frac{480}{x}+0,1x$ (nghìn đồng).

Thay $x=v=30$ (km/giờ) vào ta có $f\left(30\right)=\frac{480}{30}+0,1\cdot 30=19$ (nghìn đồng).

Lời giải

Từ giả thiết, ta suy ra được:

$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b};\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}\right)=\cos \widehat{DA{C}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{3}}$; $\cos \left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\right)=\cos \widehat{BA{C}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Giả sử lực tổng hợp là $\overrightarrow{m}$, tức là $\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.

Khi đó, ${\overrightarrow{m}}^2={\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}^2$$={\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2+{\overrightarrow{c}}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+2\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$

                        $={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+0+2\left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \left|\overrightarrow{c}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\right)+2\left|\overrightarrow{c}\right|\cdot \left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{c},\overrightarrow{a}\right)$

                        $=10^2+10^2+20^2+2\cdot 10\cdot 20\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+2\cdot 10\cdot 20\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

                        $=600+\frac{800}{\sqrt{3}}$.

Suy ra ${\left|\overrightarrow{m}\right|}^2={\overrightarrow{m}}^2=600+\frac{800}{\sqrt{3}}$. Do đó, $\left|\overrightarrow{m}\right|=\sqrt{600+\frac{800}{\sqrt{3}}}\approx 32,6$.

Vậy độ lớn hợp lực của các lực $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ bằng khoảng $32,6$ N.