Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án (Đề 9)

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Hàm số $y=f\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$.

b) Ta có $\int f^{\prime }\left(x\right)dx=\int \left(8x^3+\sin x\right)dx=2x^4-\cos x+C_1$.

Vì $f\left(0\right)=3\Rightarrow C_1=4$. Do đó $f\left(x\right)=2x^4-\cos x+4$.

c) $\int f\left(x\right)dx=\int \left(2x^4-\cos x+4\right)dx=\frac{2x^5}{5}-\sin x+4x+C$.

d) Có $F\left(x\right)=\frac{2x^5}{5}-\sin x+4x+C$ và $F\left(0\right)=2\Rightarrow C=2$.

Do đó $F\left(x\right)=\frac{2x^5}{5}-\sin x+4x+2$. Vậy $F\left(1\right)=\frac{32}{5}-\sin 1$.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)dx$$=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin 2xdx$$={\left(-\frac{\cos 2x}{2}\right)|}_0^{\pi }$$=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$.

b) Ta có $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin 2xdx=F\left(\frac{\pi }{2}\right)-F\left(0\right)=1\Rightarrow F\left(\frac{\pi }{2}\right)=1+F\left(0\right)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(\cos x-f\left(x\right)\right)dx=$$$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos xdx-\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)dx$$$$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos xdx-\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin 2xdx$$$$=1-1=0$$.

d) $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$$=2\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$$=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)dx-2\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)dx$$=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin 2xdx-2\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{\pi }{\int }}\sin 2xdx$

$=2+2=4$.

$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(x+\frac{2}{x}\right)dx={\left(\frac{x^2}{2}+2\ln \left|x\right|\right)|}_1^3=\frac{9}{2}+2\ln 3-\frac{1}{2}=4+2\ln 3$.

Suy ra $a=4;b=3$. Do đó $a+b=7$.

Có $F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int \cos 2xdx=\frac{1}{2}\sin 2x+C.$

Vì $F\left(\pi \right)=1$ nên $\frac{1}{2}\sin 2\pi +C=1\iff C=1$.

Do đó $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\sin 2x+1$.

Phương trình $F\left(x\right)=1$$\iff \frac{1}{2}\sin 2x+1=1$$\iff \sin 2x=0$$\iff 2x=k\pi$$\iff x=k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Vì $x\in \left[0;3\pi \right]$ nên $x=0;x=\frac{\pi }{2};x=\pi ;x=\frac{3\pi }{2};x=2\pi ;x=\frac{5\pi }{2},x=3\pi$.

Quãng đường anh nhìn thấy chướng ngại vật trước khi hãm phanh là $S_1=2v_0\left(\mathrm{m}\right)$.

Vận tốc kể từ khi hãm phanh là $v\left(t\right)=\int -6dt=-6t+C$.

Mà $v\left(0\right)=v_0$ nên $v\left(t\right)=-6t+v_0$.

Quãng đường anh đi được trong 3 giây đầu tiên kể từ lúc hãm phanh là

$S_2=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-6t+v_0\right)dt={\left(-3t^2+v_{0}t\right)|}_0^3=-27+3v_0$.

Vì $S_1+S_2=35,5$ nên $5v_0-27=35,5\iff v_0=12,5m/s$.

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là m, chiều rộng là n $\left(m>n>0\right)$.

Ta có diện tích hình chữ nhật là $s=mn=200$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho đỉnh của parabol là $I\left(0;n\right)$. Parabol đi qua hai điểm $A\left(-\frac{m}{2};0\right)$ và $B\left(\frac{m}{2};0\right)$.

Do đó parabol có dạng $y=-\frac{4n}{m^2}{x}^2+n$.

Vậy phần diện tích trồng cỏ là $S=2\underset{0}{\overset{\frac{m}{2}}{\int }}\left(-\frac{4n}{m^2}{x}^2+n\right)dx=\frac{2mn}{3}$.

Vậy số tiền trồng cỏ cần là: $\frac{2mn}{3}.300000=\frac{2.200}{3}.300000=40000000=40$ triệu đồng.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $M,N,P$lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A\left(2;-3;1\right)$ lên các mặt phẳng tọa độ $\left(Oxy\right),\left(Oxz\right),\left(Oyz\right)$.

Khi đó, $M\left(2;-3;0\right),N\left(2;0;1\right),P\left(0;-3;1\right)$.

$\overrightarrow{MN}=\left(0;3;1\right),\overrightarrow{MP}=\left(-2;0;1\right)$.

$\left(MNP\right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}\right]=\left(3;-2;6\right)$.

Mặt khác, $\left(MNP\right)$ đi qua $M\left(2;-3;0\right)$ nên có phương trình là:

$3\left(x-2\right)-2\left(y+3\right)+6\left(z-0\right)=0$ hay $3x-2y+6z-12=0$.

Suy ra $a=3;b=-2;c=6$. Do đó $a+b+c=7$.

Gọi $C\left(0;y;0\right)\in Oy$ với $y>0$.

Ta có $OA=1,OB=2,OC=y$ và $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc.

Suy ra $V_{OABC}=\frac{1}{6}OA.OB.OC=\frac{1}{3}y$.

Theo đề ta có $\frac{1}{3}y=2\iff y=6\Rightarrow C\left(0;6;0\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(ABC\right):\frac{x}{1}+\frac{y}{6}+\frac{z}{2}=1$.

Điểm $S\left(-1;6;m\right)$ thuộc $\left(P\right)$ $\iff \frac{-1}{1}+\frac{6}{6}+\frac{m}{2}=1\iff m=2$.