Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án (Đề 5)

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) Ta có $g^{\prime }\left(x\right)=12e^{2x}$. Do đó $g\left(x\right)$ không là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$.

b) $\int g\left(x\right)dx=\int 6e^{2x}dx=\int 3e^{2x}d\left(2x\right)=3e^{2x}+C$.

c) $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int \left[3e^{2x}-\ln 2+6e^{2x}\right]dx=\int \left(9e^{2x}-\ln 2\right)dx$$=\frac{9}{2}{e}^{2x}-x\ln 2+C$.

d) $\int \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}dx=\int \frac{3e^{2x}-\ln 2}{6e^{2x}}dx=\int \left(\frac{1}{2}-\frac{\ln 2}{6e^{2x}}\right)dx$$=\frac{1}{2}x+\frac{\ln 2}{12e^{2x}}+C$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Mặt phẳng $x+2y+2z=1$ có một vectơ pháp tuyến là $\left(1;2;2\right)$.

b) Thay tọa độ điểm $A\left(-1;4;2\right)$ vào phương trình mặt phẳng $x+2y+2z=1$ ta được

$-1+2.4+2.2-1=10\ne 0$. Do đó điểm $A\left(-1;4;2\right)$không thuộc mặt phẳng $x+2y+2z=1$.

c) Mặt phẳng $\left(Oyz\right)$ có phương trình $x=0$.

Suy ra $d\left(A,\left(Oyz\right)\right)=\frac{|-1|}{1}=1$.

d) Có $\overrightarrow{OA}=\left(-1;4;2\right)$ và $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$.

Có $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{j}\right]=\left(-2;0;-1\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có dạng: $-2\left(x+1\right)-\left(z-2\right)=0$ hay $2x+z=0$$\iff x+\frac{1}{2}z=0$.

Suy ra $b=0;c=\frac{1}{2}$. Do đó $b-2c^2+1=0-2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1=\frac{1}{2}>0$.

Ta có $F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int \left(\sin x-\cos x+\frac{2}{{\cos }^{2}x}\right)dx=-\cos x-\sin x+2\tan x+C$.

Mà $F\left(0\right)=1\Rightarrow C=2$. Do đó $F\left(x\right)=-\cos x-\sin x+2\tan x+2$.

Suy ra $F\left(\pi \right)=-\cos \pi -\sin \pi +2\tan \pi +2=3$.

Có $F^{\prime }\left(x\right)=\left(2ax+b\right)\sqrt{2x-3}+\frac{a{x}^2+bx+c}{\sqrt{2x-3}}$$=\frac{\left(2ax+b\right)\left(2x-3\right)+a{x}^2+bx+c}{\sqrt{2x-3}}$

$=\frac{5a{x}^2+\left(3b-6a\right)x-3b+c}{\sqrt{2x-3}}$.

Vì $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ nên ta có:

$\{\begin{array}{l}5a=20\\ 3b-6a=-30\\ -3b+c=7\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}a=4\\ b=-2\\ c=1\end{array}$. Do đó $P=abc=4.\left(-2\right).1=-8$.

Vận tốc của viên đạn là $v\left(t\right)=\int -9,8dt=-9,8t+C$.

Vì $v\left(0\right)=196$ nên $C=196$. Do đó $v\left(t\right)=-9,8t+196$.

Khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất thì viên đạn có vận tốc bằng 0.

Suy ra  $-9,8t+196=0\iff t=20$.

Quãng đường viên đạn đi từ mặt đất đến vị trí cao nhất là

$s\left(t\right)=\underset{0}{\overset{20}{\int }}\left(-9,8t+196\right)dt=1960$(m)

Quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là

$2.1960=3920$ m $=3,92$ km.

Chọn hệ trục tọa độ với $O$ là trung điểm của $MN$, trục hoành trùng với đường thẳng $MN$.

Giả sử $\left(P\right):y=a{x}^2+bx+c\left(a<0\right)$.

Vì $\left(P\right)$ đi qua $I\left(0;6\right),C\left(6;0\right),D\left(-6;0\right)$.

Do đó ta có hệ $\{\begin{array}{l}36a+6b+c=0\\ 36a-6b+c=0\\ c=6\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{-1}{6}\\ b=0\\ c=6\end{array}$.

Do đó $\left(P\right):y=-\frac{1}{6}{x}^2+6$.

Diện tích cần làm là $S=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|-\frac{1}{6}{x}^2+6\right|dx=\frac{208}{9}$.

Số tiền cần dùng là:$\frac{208}{9}.900000=20800000$ đồng = 20,8 triệu đồng.

Có $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(3;-2;2\right),\overrightarrow{n_{\beta }}=\left(5;-4;3\right)$. Suy ra $\overrightarrow{n_P}=\left[\overrightarrow{n_{\alpha }},\overrightarrow{n_{\beta }}\right]=\left(2;1;-2\right)$.

Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua gốc tọa độ nên $\left(P\right):2x+y-2z=0$.

Do đó $a=2;c=-2$. Vậy $ac=-4$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;1\right),\overrightarrow{AD}=\left(0;-1;0\right),\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right]=\left(1;0;-1\right)$.

Mặt phẳng $\left(ABD\right)$ đi qua $A\left(1;0;1\right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left(1;0;-1\right)$làm vectơ pháp tuyến có dạng

$\left(x-1\right)-\left(z-1\right)=0$ hay $x-z=0$.

Chiều cao của hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ chính là $d\left(C^{\prime },\left(ABD\right)\right)$.

Ta có $d\left(C^{\prime },\left(ABD\right)\right)=\frac{|4-\left(-5\right)|}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$. Suy ra $a=9;b=2$.

Vậy $ab=18$.