Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án (Đề 3)

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) $f\left(x\right)=F^{\prime }\left(x\right)=a\sqrt{x-b}+\frac{ax+2}{2\sqrt{x-b}}=\frac{2a\left(x-b\right)+ax+2}{2\sqrt{x-b}}=\frac{3ax-2ab+2}{2\sqrt{x-b}}$.

b) $\int xG\left(x\right)dx=\int \frac{3x}{c{x}^2}dx=\int \frac{3}{cx}dx=\frac{3}{c}\ln \left|x\right|+C$.

c) $G\left(x\right)=\frac{3}{-6x^2}=-\frac{1}{2x^2}$$\Rightarrow g\left(x\right)=G^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x^3}$.

Suy ra $g^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{1}{x^3}\right)}^{\prime }=\frac{-3}{x^4}$.

d) Theo câu a, $f\left(x\right)=\frac{3ax-2ab+2}{2\sqrt{x-b}}$ mà $f\left(x\right)=\frac{3x-5}{\sqrt{x-3}}$ nên suy ra

 $\{\begin{array}{l}\frac{3a}{2}=3\\ -ab+1=-5\\ b=3\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\end{array}$.

Do đó $2a^2-3b=2.2^2-3.3=-1$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Mặt phẳng $\left(Oxy\right):z=0$.

$d\left(A,Oxy\right)=\frac{|1|}{\sqrt{1^2}}=1$.

b) $I\left(1;1;2\right)$ là trung điểm đoạn thẳng $CD$.

c) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-3;-1;2\right)$, $\overrightarrow{CD}=\left(-2;4;-2\right)$, $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]=\left(-6;-10;-14\right)=-2\left(3;5;7\right)$.

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$qua hai điểm $A\left(1;2;1\right),B\left(-2;1;3\right)$ và $\left(\alpha \right)//CD$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(3;5;7\right)$ có phương trình $3\left(x-1\right)+5\left(y-2\right)+7\left(z-1\right)=0$ hay $3x+5y+7z-20=0$.

Suy ra $b=5;c=7;d=-20$. Do đó $2b-3c+d=-31$.

d) Ta có $\overrightarrow{IA}=\left(0;1;-1\right),\overrightarrow{IB}=\left(-3;0;1\right)$, $\left[\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB}\right]=\left(1;3;3\right)$.

Nếu $\left(\alpha \right)$ đi qua trung điểm $I\left(1;1;2\right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;3;3\right)$ có phương trình là: $\left(x-1\right)+3\left(y-1\right)+3\left(z-2\right)=0$ hay $x+3y+3z-10=0$$\iff 3x+9y+9z-30=0$.

Suy ra $b=9;c=9;d=-30$. Do đó $2b-3c+d=-39$.

Ta có $f\left(x\right)={\left(x\sin x+C\right)}^{\prime }=\sin x+x\cos x\Rightarrow f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$.

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{2{\sin }^{2}x}{2{\cos }^{2}x}dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx={\left(\tan x-x\right)|}_0^{\frac{\pi }{3}}=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=1\\ b=-3\end{array}\Rightarrow a+b=-2$.

A,B thuộc ( P ) sao cho $AB=2$. (ảnh 1)">

Giả sử $A\left(a;a^2\right),B\left(b;b^2\right)\in \left(P\right)\left(b>a\right)$ sao cho $AB=2$.

Phương trình đường thẳng $AB:y=\left(b+a\right)x-ab$.

Gọi$S$ là diện tích hình phẳng cần tìm, ta có

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|\left(b+a\right)x-ab-x^2\right|dx$$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[\left(b+a\right)x-ab-x^2\right]dx=\frac{1}{6}{\left(b-a\right)}^3$.

Vì $AB=2$ nên $\left|b-a\right|=b-a\le 2$$\Rightarrow S\le \frac{4}{3}$.

Dấu bằng xảy ra khi $\{\begin{array}{l}a+b=0\\ b-a=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}$. Suy ra $a+b=0$.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình $y=\sqrt{225-x^2},x\in \left[-15;15\right]$.

Một mặt phẳng cắt vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x,\left(x\in \left[-15;15\right]\right)$ cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là $S\left(x\right)$.

Ta có $NP=y$ và $MN=NP\tan 45^{\circ }=y=\sqrt{225-x^2}$.

Khi đó $S\left(x\right)=\frac{1}{2}MN.NP=\frac{1}{2}\left(225-x^2\right)$.

Suy ra thể tích hình nêm là $V=\underset{-15}{\overset{15}{\int }}S\left(x\right)dx=\frac{1}{2}\underset{-15}{\overset{15}{\int }}\left(225-x^2\right)dx=2250$ cm³.