Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo – Đề 08 (có đáp án)

a) Đ,           b) Đ,           c) Đ,            d) S.

Hướng dẫn giải

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

– Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left(-1;0\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$; nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(0;1\right)$. Vậy ý a) đúng.

– Hàm số đã cho có $3$ điểm cực trị: $x=-1$ (điểm cực tiểu), $x=0$ (điểm cực đại) và $x=1$ (điểm cực tiểu). Do đó, ý b) đúng.

– Trên đoạn $\left[-1;1\right]$, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=0$, $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(0\right)=3$. Do đó, ý c) đúng.

– Ta có $f\left(x\right)+3=0$$\iff f\left(x\right)=-3$.

Đường thẳng $y=-3$ và đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ không cắt nhau nên phương trình $f\left(x\right)=-3$ không có nghiệm, tức là phương trình $f\left(x\right)+3=0$ vô nghiệm.

Vậy ý d) sai.

a) S,            b) S,            c) Đ,            d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y=\frac{x-3}{x+1}$.

– Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{-1\right\}$.

– Ta có $y^{\prime }=\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}$; $y^{\prime }>0$ với mọi $x\ne -1$.

– Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(-1;+\infty \right)$. Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho không có cực trị. Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận:

+) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-3}{x+1}=1;\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-3}{x+1}=1$. Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $y=1$.

+) $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x+1}=-\infty ;\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{x-3}{x+1}=+\infty$. Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $x=-1$.

Vậy ý c) đúng.

– Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=x+2m\left(d\right)$ và đồ thị hàm số $y=\frac{x-3}{x+1}\left(C\right)$ là: $\frac{x-3}{x+1}=x+2m$$\iff \left(x+1\right)\left(x+2m\right)=x-3$$\iff x^2+2mx+2m+3=0$.

Xét hàm số $g\left(x\right)=x^2+2mx+2m+3$.

$\left(d\right)$ cắt $\left(C\right)$ tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi phương trình $g\left(x\right)=0$ có hai nghiệm $x_1;x_2$ khác $-1$ và $x_1{x}_2<0$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi

$$\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}{\Delta }_g>0\\ g\left(-1\right)\ne 0\end{array}\\ \frac{c}{a}<0\end{array}$$$\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-2m-3>0\\ 1-2m+2m+3\ne 0\\ 2m+3<0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}m<-1\\ m>3\end{array}\\ m<-\frac{3}{2}\end{array}$$\iff m<-\frac{3}{2}$.

Vì $m\in \mathbb{Z},m\in \left[-2024;2024\right]$ nên $m\in \left\{-2024;-2023;...;-2\right\}$.

Vậy có $2023$ giá trị của $m$ thỏa mãn.

Do đó, ý d) đúng.

a) Đ,           b) S,            c) S,            d) S.

Hướng dẫn giải

– Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SC}$. Do đó, ý a) đúng.

– Ta có $\left|\overrightarrow{SA}\right|=SA=1;\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=1;\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=\sqrt{2}$. Do đó, ý b) sai.

– Từ giả thiết, ta thấy tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và tam giác $SAB$ đều.

Do đó, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ và $\left(\overrightarrow{SA},\overrightarrow{AB}\right)=180^{\circ }-\widehat{SAB}=120^{\circ }$.

Ta có: $$\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{AB}=\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}$$

$=\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AB}=\left|\overrightarrow{SA}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$.

Do đó, ý c) sai.

– Ta có: $\cos \left(\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AB}\right)=\frac{\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{SC}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|}=\frac{-\frac{1}{2}}{1\cdot 1}=-\frac{1}{2}$. Vậy ý d) sai.

a) Đ,           b) S,            c) Đ,            d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\left(1-1;-1-0;1-1\right)=\left(0;-1;0\right)$. Do đó, ý a) đúng.

– Gọi tọa độ của điểm $B$ là $\left(x_B;y_B;z_B\right)$, ta có tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BC}$ là:

$\left(3-x_B;5-y_B;-5-z_B\right)$.

Do đó, ý b) sai.

– Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$.

Suy ra $\{\begin{array}{l}3-x_B=0\\ 5-y_B=-1\\ -5-z_B=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_B=3\\ y_B=6\\ z_B=-5\end{array}$. Vậy $B\left(3;6;-5\right)$. Do đó, ý c) đúng.

– Ta có: $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Khi đó, theo quy tắc hình hộp, ta có:

$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$$=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$.

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ là $\left(-2;-7;6\right)$.

Vậy tọa độ của vectơ tổng $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ là $\left(-2;-7;6\right)$. Do đó, ý d) đúng.

Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là $x$ (nghìn đồng, $x>0$).

Vì cứ tăng giá thêm $1$ nghìn đồng thì số khăn bán ra mỗi tháng sẽ ít hơn $100$ chiếc nên tăng $x$ nghìn đồng thì số khăn bán ra giảm $100x$ chiếc.

Do đó, tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: $3000-100x$ (chiếc).

Lúc đầu bán với giá $30$ nghìn đồng, mỗi chiếc khăn có lãi $12$ nghìn đồng. Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: $12+x$ (nghìn đồng).

Khi đó, lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là:

$L\left(x\right)=\left(3000-100x\right)\left(12+x\right)$$=-100x^2+1800x+36000$ (nghìn đồng).

Xét hàm số $L\left(x\right)=-100x^2+1800x+36000$ với $x\in \left(0;+\infty \right)$.

Ta có: $L^{\prime }\left(x\right)=-200x+1800$. Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$, $L^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=9$.

Bảng biến thiên của hàm số $L\left(x\right)$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ như sau:

Gọi là tâm của đáy .

Vì là hình chóp tứ giác đều nên , và là trung điểm của và .

Ta có: , suy ra .  

Hợp lực của bốn sợi xích là: 

.

Để đèn chùm đứng yên thì hợp lực của các sợi xích phải cân bằng với trọng lực , điều đó có nghĩa là , suy ra , hay .

Độ lớn của trọng lực tác động lên đèn chùm là: (N).

Do đó, .

Ta có: .

Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng khoảng 8,5 N.

Đáp số: .