Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo – Đề 02 (có đáp án)

a) Đ,                b) Đ,                c) S,                 d) Đ.

Hướng dẫn giải

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

– Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$ do trên khoảng này đồ thị của hàm số đi lên từ trái qua phải. Vậy ý a) đúng.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x=0$; đạt cực tiểu tại $x=2$. Do đó, ý b) đúng.

– Trên đoạn $\left[0;2\right]$, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=0$, $\underset{\left[0;2\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(0\right)=2$. Do đó, ý c) sai.

– Ta có $3f\left(x\right)+4=0$$\iff f\left(x\right)=-\frac{4}{3}$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x+1}$.

– Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{-1\right\}$.

– Ta có $y^{\prime }=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}$; $y^{\prime }>0$ với mọi $x\ne -1$.

– Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(-1;+\infty \right)$. Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho không có cực trị. Do đó, ý b) đúng.

– Tiệm cận:

+) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x+1}=2;\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x+1}=2$. Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $y=2$.

+) $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x+1}=-\infty ;\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{x+1}=+\infty$. Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $x=-1$.

Vậy ý c) đúng.

– Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của $\left(C\right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó, hệ số góc của tiếp tuyến này là $f^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{3}{{\left(x_0+1\right)}^2}$.

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=x$ có hệ số góc là $k=1$ nên

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{3}{{\left(x_0+1\right)}^2}=1$, suy ra $x_0=-1+\sqrt{3}$ hoặc $x_0=-1-\sqrt{3}$.

Vì đường thẳng $y=x$ và $\left(C\right)$ có hai giao điểm nên $y=x$ không phải là tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Vậy tổng hoành độ của hai tiếp điểm là $k=-1+\sqrt{3}+\left(-1\right)-\sqrt{3}=-2$, đây không phải là một số chính phương. Do đó, ý d) sai.

a) Đ,                b) S,                c) Đ,                d) S.

Hướng dẫn giải

– Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp chữ nhật nên $A{D}^{\prime }{C}^{\prime }B$ là hình bình hành, do đó $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$. Vậy ý a) đúng.

– Tam giác $ABD$ vuông cân tại $A$ có $AB=AD=1$, suy ra $\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=\sqrt{2}$.

Tam giác $CD{D}^{\prime }$ vuông tại $D$ có $CD=AB=1,D{D}^{\prime }=A{A}^{\prime }=2$, suy ra $\left|\overrightarrow{C{D}^{\prime }}\right|=C{D}^{\prime }=\sqrt{5}$.

Vậy ý b) sai.

– Ta có $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C{A}^{\prime }}+2\overrightarrow{C^{\prime }C}=\left(\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }C}\right)+\left(\overrightarrow{C^{\prime }C}+\overrightarrow{C{A}^{\prime }}\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$.

Do đó, ý c) đúng.

– Vì $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp \left(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$ nên $$A^{\prime }{B}^{\prime }\perp AD$$, do đó $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=0$. Vậy ý d) sai.

a) S,b) Đ,c) Đ,d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Vì $G$ là trung điểm của $IJ$ nên $\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{JG}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\overrightarrow{JI}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\overrightarrow{JI}=\overrightarrow{JI}\ne \overrightarrow{0}$. Do đó, ý a) sai.

– Ta có: $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CJ}\\ \overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DJ}\end{array}$.

Suy ra $2\overrightarrow{IJ}=\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)+\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)+\left(\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{DJ}\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$. Vậy ý b) đúng.

– Ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)$

$=2\overrightarrow{GI}+2\overrightarrow{GJ}=2\left(\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ}\right)=\overrightarrow{0}$.

Vậy ý c) đúng.

– Ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)=4\overrightarrow{MG}$.

Suy ra $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=4\left|\overrightarrow{MG}\right|=4MG$.

Vậy $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|$ nhỏ nhất khi $MG$ nhỏ nhất, tức là $MG=0$ hay $M\equiv G$.

Do đó, ý d) đúng.