Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều – Đề 10 (có đáp án)

Với $m=-4$, ta có: $\left(C\right):y=\frac{x^2-3x-4}{x-1}$.

1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{1\right\}.$

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-3x-4}{x-1}=+\infty .$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-3x-4}{x-1}=-\infty .$

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} =  - \infty ,\)$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-3x-4}{x-1}=+\infty$, do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=1$ làm tiệm cận đứng.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-3x-4}{x\left(x-1\right)}=1$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{x^2-3x-4}{x-1}-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2x-4}{x-1}=-2$.

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=x-2$ làm tiệm cận xiên.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{x^2-2x+7}{{\left(x-1\right)}^2}>0,\forall x\in D.$

Từ đây ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(1;+\infty \right).$

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung: $\left(0;4\right).$

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $\left(4;0\right),\left(-1;0\right).$

Đồ thị đi qua các điểm $\left(-2;-2\right);\left(2;-6\right);\left(3;-2\right);\left(5;\frac{3}{2}\right)$.

Đồ thị nhận đường thẳng $x=1$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y=x-2$ làm tiệm cận xiên.

Ta có đồ thị hàm số:

Với $m=2$, ta có: $\left(C\right):y=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{1\right\}.$

Ta có: $y^{\prime }=\frac{x^2-2x+1}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{{\left(x-1\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^2}=1>0,\forall x\in D.$

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên $\left[2;3\right]$.

Xét trên đoạn $\left[2;3\right]$, ta tính được các giá trị sau: $y\left(2\right)=0,y\left(3\right)=1.$

Vậy với $m=2$, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[2;3\right]$ bằng $1$ và giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[2;3\right]$ bằng $0.$

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)\Rightarrow {\left(\overrightarrow{MN}\right)}^2=\frac{1}{4}\left({\overrightarrow{AC}}^2+2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}+{\overrightarrow{BD}}^2\right)$

                                                           $=\frac{1}{4}\left(2a^2+2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\right).$

Mà: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

$=\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.\cos 60^{\circ }-\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos 60^{\circ }=0.$

Suy ra ${\left|\overrightarrow{MN}\right|}^2=\frac{1}{4}.2a^2=\frac{a^2}{2}$$\Rightarrow \left|\overrightarrow{MN}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Ta có: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{AC}}^2+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\right)=\frac{a^2}{2}.$

Khi đó, $\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN}\right)=\frac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{MN}}{\left(\overrightarrow{AC}\right).\left(\overrightarrow{MN}\right)}=\frac{\frac{a^2}{2}}{a.\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Vậy $\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Gọi $x$ là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng $\left(30000\le x\le 50000\right)$, đơn vị: đồng.

Theo đề ta có:

Nếu bán với giá $50000$ đồng thì bán được $40$ quả bưởi

Giảm giá $5000$ đồng thì bán được thêm $$50$$ quả.

Giảm giá $50000-x$ thì bán được thêm bao nhiêu quả?

Khi đó, số quả bưởi được bán thêm là: $\left(50000-x\right)\frac{50}{5000}=\frac{1}{100}\left(50000-x\right)$.

Do đó, số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán $x$:

$40+\frac{1}{100}\left(50000-x\right)=\frac{-1}{100}x+540$.

Gọi $F\left(x\right)$ là hàm lợi nhuận thu được ($F\left(x\right)$: đồng).

Ta có: $F\left(x\right)=\left(\frac{-1}{100}x+540\right)\left(x-30000\right)=\frac{-1}{100}{x}^2+840x-16200000$.

Lúc này, bài toán trở thành tìm GTLN của hàm số:

$F\left(x\right)=\frac{-1}{100}{x}^2+840x-16200000$ với $30000\le x\le 50000$.

$F^{\prime }\left(x\right)=\frac{-1}{50}x+840$

$F^{\prime }\left(x\right)=0\iff \frac{-1}{50}x+840=0\iff x=42000$.

Vì hàm $F\left(x\right)$ liên tục trên $\left[30000;50000\right]$ nên ta có:

$F\left(30000\right)=0$

$F\left(42000\right)=1440000$

$F\left(50000\right)=800000$.

Vậy với $x=42000$ thì $F\left(x\right)$ đạt GTLN.

Vậy để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là $42000$ đồng.