Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều – Đề 03 (có đáp án)

22 câu · Đề giữa kì 1

4/22 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 18 câu còn lại.

Câu 1

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng xét dấu đạo hàm $y^{'}$ như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình dưới đây.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0; 4]$ bằng bao nhiêu?

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 4

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 5

Cho hàm số $y = \frac{a x ^{2} + b x + c}{m x + n}$ (với $a, m \neq = 0$ ) có đồ thị là đường cong như hình dưới đây.

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 6

Đồ thị hàm số

y = - x^{3} - x + 2

là đường cong nào trong các đường cong sau?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 7

Cho hình chóp tứ giác $S . A B C D$ .

Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thuộc tập hợp các đỉnh của hình chóp tứ giác, có bao nhiêu vectơ có giá nằm trong mặt phẳng $(S C D)$ ?

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 8

Cho hàm số $y = \frac{3 x + 1}{1 - x}$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 9

Trên đoạn

[1; 5]

, giá trị lớn nhất của hàm số

f (x) = 11 - 2 x

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 10

Cho đồ thị hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ (với $c \neq = 0$ ) có đồ thị như hình dưới đây.

Biết rằng $a$ là số thực dương, hỏi trong các số $b, c, d$ có bao nhiêu số dương?

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 11

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ và có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số trên cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 12

Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ , $M$ là trung điểm của $B B^{'}$ . Đặt $C A = a$ , $C B = b$ , $A A^{'} = c$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 13

Câu tự luận

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình dưới đây.

a) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ .

b) Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 0$ ; đạt cực tiểu tại $x = 2$ .

c) Trên đoạn $[0; 2]$ , giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng $0$ .

d) Phương trình $3 f (x) + 4 = 0$ có 3 nghiệm.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

– Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ do trên khoảng này đồ thị của hàm số đi lên từ trái qua phải. Vậy ý a) đúng.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 0$ ; đạt cực tiểu tại $x = 2$ . Do đó, ý b) đúng.

– Trên đoạn $[0; 2]$ , hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 0$ , $[0; 2] max f (x) = f (0) = 2$ . Do đó, ý c) sai.

– Ta có $3 f (x) + 4 = 0$ $\Leftrightarrow f (x) = - \frac{4}{3}$ .

Đường thẳng $y = - \frac{4}{3}$ cắt đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại 3 điểm nên phương trình $f (x) = - \frac{4}{3}$ có 3 nghiệm, tức là phương trình $3 f (x) + 4 = 0$ có 3 nghiệm.

Vậy ý d) đúng.

Câu 14

Câu tự luận

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ có đồ thị là $(C)$ .

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ .

b) Hàm số đã cho không có cực trị.

c) $(C)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1$ , tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$ .

d) Biết rằng trên $(C)$ có 2 điểm phân biệt mà các tiếp tuyến của $(C)$ tại các điểm đó song song với đường thẳng $y = x$ . Gọi $k$ là tổng hoành độ của hai điểm đó, khi đó $k$ là một số chính phương.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y = f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ .

– Tập xác định của hàm số là $R \ {- 1}$ .

– Ta có $y^{'} = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}$ ; $y^{'} > 0$ với mọi $x \neq = - 1$ .

– Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ . Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho không có cực trị. Do đó, ý b) đúng.

– Tiệm cận:

+) $x \to + \infty lim \frac{2 x - 1}{x + 1} = 2; x \to - \infty lim \frac{2 x - 1}{x + 1} = 2$ . Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $y = 2$ .

+) $x \to - 1^{+} lim \frac{2 x - 1}{x + 1} = - \infty; x \to - 1^{-} lim \frac{2 x - 1}{x + 1} = + \infty$ . Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $x = - 1$ .

Vậy ý c) đúng.

– Gọi $x_{0}$ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của $(C)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó, hệ số góc của tiếp tuyến này là $f^{'} (x_{0}) = \frac{3}{( x _{0} + 1 ) ^{2}}$ .

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = x$ có hệ số góc là $k = 1$ nên

$f^{'} (x_{0}) = \frac{3}{( x _{0} + 1 ) ^{2}} = 1$ , suy ra $x_{0} = - 1 + 3$ hoặc $x_{0} = - 1 - 3$ .

Vì đường thẳng $y = x$ và $(C)$ có hai giao điểm nên $y = x$ không phải là tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Vậy tổng hoành độ của hai tiếp điểm là $k = - 1 + 3 + (- 1) - 3 = - 2$ , đây không phải là một số chính phương. Do đó, ý d) sai.

Câu 15

Câu tự luận

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A B = A D = 1$ và $A A^{'} = 2$ .

a) $A D^{'} = B C^{'}$ .

b) $B D = C D^{'} = 2$ .

c) $A C^{'} + C A^{'} + 2 C^{'} C = 0$ .

d) $A D \cdot A^{'} B^{'} = 2$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

– Vì $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình hộp chữ nhật nên $A D^{'} C^{'} B$ là hình bình hành, do đó $A D^{'} = B C^{'}$ . Vậy ý a) đúng.

– Tam giác $A B D$ vuông cân tại $A$ có $A B = A D = 1$ , suy ra $B D = B D = 2$ .

Tam giác $C D D^{'}$ vuông tại $D$ có $C D = A B = 1, D D^{'} = A A^{'} = 2$ , suy ra $C D^{'} = C D^{'} = 5$ .

Vậy ý b) sai.

– Ta có $A C^{'} + C A^{'} + 2 C^{'} C < / s p an >< s p an > = (A C^{'} + C^{'} C) + (C^{'} C + C A^{'}) = A C + C^{'} A^{'} = A C + C A = 0$ .

Do đó, ý c) đúng.

– Vì $A^{'} B^{'} ⊥ (A D D^{'} A^{'})$ nên $A^{'} B^{'} ⊥ A D$ , do đó $A D \cdot A^{'} B^{'} = 0$ . Vậy ý d) sai.

Câu 16

Câu tự luận

Cho tứ diện $A B C D$ . Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $C D$ , $G$ là trung điểm của $I J$ (tham khảo hình vẽ).

a) $G I + J G = 0$ .

b) $A C + B D = 2 I J$ .

c) $G A + GB + GC + G D = 0$ .

d) $M A + M B + M C + M D$ nhỏ nhất khi $M \equiv G$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Vì $G$ là trung điểm của $I J$ nên $G I + J G = \frac{1}{2} J I + \frac{1}{2} J I = J I \neq = 0$ . Do đó, ý a) sai.

– Ta có: ${I J = I A + A C + C J I J = I B + B D + D J$ .

Suy ra $2\overrightarrow {IJ} = \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CJ} + \overrightarrow {DJ} } \right) = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} $. Vậy ý b) đúng.

– Ta có: $G A + GB + GC + G D = (G A + GB) + (GC + G D)$

$= 2 G I + 2 G J = 2 (G I + G J) = 0$ .

Vậy ý c) đúng.

– Ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) = 4\overrightarrow {MG} $.

Suy ra $M A + M B + M C + M D = 4 M G = 4 M G$ .

Vậy $M A + M B + M C + M D$ nhỏ nhất khi $M G$ nhỏ nhất, tức là $M G = 0$ hay $M \equiv G$ .

Do đó, ý d) đúng.

Câu 17

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $R$ . Biết hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hàm số $g (x) = f (x) + x$ đạt cực tiểu tại điểm $x$ bằng bao nhiêu?

Đáp án và lời giải

Đáp án: $1$

Câu 18

Cho hàm số $y = e^{x} (x^{2} - 3)$ , gọi $M = \frac{a}{e ^{b}} (a, b \in N)$ là giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[- 5; - 2]$ . Giá trị của biểu thức $P = a + b$ bằng bao nhiêu?

Đáp án và lời giải

Đáp án: $9$

Câu 19

Cho hình lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có

A B = a

và

A A^{'} = a 2

. Số đo góc giữa hai vectơ

A B^{'}

và

B C^{'}

bằng bao nhiêu độ?

Đáp án và lời giải

Đáp án: $60$

Câu 20

Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm. Giả sử tổng chi phí (đơn vị: triệu đồng) để sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm đó được cho bởi:

$f (x) = 0, 0001 x^{2} + 0, 2 x + 10000 (x \geq 1)$ .

Tỉ số $M (x) = \frac{f ( x )}{x} (x \geq 1)$ được gọi là chi phí trung bình cho một sản phẩm khi bán ra. Hãy cho biết doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để chi phí trung bình là nhỏ nhất.

Đáp án và lời giải

Đáp án: $10\,000$

Câu 21

Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh 6 dm, bạn Nhi cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong rồi gập lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều như hình sau.

Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án và lời giải

Đáp án: $7,3$

Câu 22

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật $A B C D$ , mặt phẳng $(A B C D)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc $E$ của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $E A, E B, E C, E D$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(A B C D)$ một góc bằng $6 0^{\circ}$ . Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Trọng lượng của chiếc xe ô bằng bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng các lực căng $F_{1}, F_{2}, F_{3}, F_{4}$ đều có cường độ là $4500$ N và trọng lượng của khung sắt là $2700$ N.

Đáp án và lời giải

Đáp án: $12\,888$