Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều – Đề 01 (có đáp án)

22 câu · Đề giữa kì 1

4/22 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 18 câu còn lại.

Câu 1

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ và có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ và có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[- 1; 3]$ và có đồ thị như hình dưới đây.

Phát biểu nào sau đây là đúng?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 4

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình dưới đây.

Phát biểu nào sau đây là đúng?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 5

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = x + 4 - \frac{10}{x + 2}$ là đường thẳng

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 6

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 7

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

Tổng $A B + A D + A A^{'}$ bằng vectơ nào sau đây?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 8

Cho hàm số $y = x - \frac{1}{x}$ . Phát biểu nào sau đây là sai?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 9

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x ^{2} + 3}{x - 1}$ trên đoạn $[2; 4]$ bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 10

Đường cong trong hình dưới là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số sau đây?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 11

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 12

Cho hai vectơ $a, b$ thỏa mãn: $a = 4; b = 3; a - b = 4$ . Gọi $α$ là góc giữa hai vectơ $a, b$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 13

Câu tự luận

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định, liên tục trên $R$ và có bảng biến thiên sau:

a) Hàm số đã cho đồng biến trên $(- 1; + \infty)$ .

b) Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 0$ ; đạt cực tiểu tại $x = 1$ .

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng $- 2$ .

d) Phương trình $f (x) = - \frac{3}{2}$ có 1 nghiệm.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) S,b) Đ,c) S,d) Đ.

Hướng dẫn giải

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

– Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 0)$ và $(1; + \infty)$ . Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 0$ ; đạt cực tiểu tại $x = 1$ . Do đó, ý b) đúng.

–Ta có $- 2 < f (x)$ nhưng không tồn tại giá trị của $x$ để $f (x) = - 2$ nên hàm số đã cho không có giá trị nhỏ nhất, vậy ý c) sai.

– Vì $- 2 < - 2 3 < - 1$ nên từ bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng $y = - 2 3$ cắt đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại 1 điểm. Do đó, phương trình $f (x) = - 2 3$ có duy nhất 1 nghiệm. Vậy ý d) đúng.

Câu 14

Câu tự luận

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{x ^{2} + 4 x + 7}{x + 1}$ .

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng $(- 3; - 1)$ và $(- 1; 1)$ .

b) Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là $- 2$ .

c) Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1$ , tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x + 3$ .

d) Đồ thị hàm số $y = f (x)$ đi qua 6 điểm có tọa độ nguyên.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y = f (x) = \frac{x ^{2} + 4 x + 7}{x + 1} = x + 3 + \frac{4}{x + 1}$ .

– Tập xác định của hàm số là $R \ {- 1}$ .

– Ta có $y^{'} = \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{( x + 1 ) ^{2}}$ ; $y^{'} = 0$ khi $x = - 3$ hoặc $x = 1$ .

Bảng biến thiên của hàm số:

Cho hàm số y = f(x) = (x^2 + 4x + 7) / (x + 1) (ảnh 1)

– Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(- \infty; - 3)$ và $(1; + \infty)$ ; nghịch biến trên từng khoảng $(- 3; - 1)$ và $(- 1; 1)$ . Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = 1$ , $y_{C T} = 6$ ; đạt cực đại tại . Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1$ , tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x + 3$ . Do đó, ý c) đúng.

– Giả sử đồ thị hàm số $y = f (x)$ là $(C)$ .

Điểm $M (x; y) \in (C)$ có tọa độ nguyên khi ${x \in Z \ {- 1} y \in Z \Leftrightarrow {x \in Z \ {- 1} 4 ⋮ (x + 1)$ .

Vì Ư(4) = ${\pm 1; \pm 2; \pm 4}$ nên ta có bảng sau:

$x + 1$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$
$x$	$- 5$ (tm)	$- 3$ (tm)	$- 2$ (tm)	$0$ (tm)	$1$ (tm)	$3$ (tm)

Vậy đồ thị hàm số $y = f (x)$ đi qua 6 điểm có tọa độ nguyên nên ý d) đúng.

Câu 15

Câu tự luận

Cho hình lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ (tham khảo hình vẽ). Khi đó:

a) $B A + A^{'} C^{'} = B C$ .

b) $A B + A A^{'} + B^{'} C^{'} = A C^{'}$ .

c) $(B C, A A^{'}) = (B C, B B^{'}) = (B C, C C^{'})$ .

d) $B^{'} C \cdot B A = B^{'} C \cdot B A \cdot cos A^{'} C B^{'}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

– Ta có: $A^{'} C^{'} = A C$ nên $B A + A^{'} C^{'} = B A + A C = B C$ , do đó ý a) đúng.

– Ta có: $A A^{'} = B B^{'}$ nên $A B + A A^{'} + B^{'} C^{'} = A B + B B^{'} + B^{'} C^{'} = A B^{'} + B^{'} C^{'} = A C^{'}$ , do đó ý b) đúng.

– Vì $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ là hình lăng trụ nên $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'}$ , do đó:

$(B C, A A^{'}) = (B C, B B^{'}) = (B C, C C^{'})$ .

Vậy ý c) đúng.

– Vì $B A = B^{'} A^{'}$ nên $(B^{'} C, B A) = (B^{'} C, B^{'} A^{'}) = A^{'} B^{'} C$ .

Khi đó, $B^{'} C \cdot B A = B^{'} C \cdot B A \cdot cos (B^{'} C < / s p an >< s p an >, B A) = B^{'} C \cdot B A \cdot cos A^{'} B^{'} C$ . Vậy ý d) sai.

Câu 16

Câu tự luận

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ và $A B C = A^{'} A B = A^{'} A D = 6 0^{\circ}$ . Khi đó:

a) $A B = B C = a$ .

b) $A A^{'} \cdot A B = a^{2}$ .

c) $D^{'} A^{'} + D^{'} C^{'} = a 3$ .

d) $A A^{'} \cdot A C = a^{2}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Theo bài ra, ta có $A B = B C = a$ nên $A B = B C = a$ . Do đó, ý a) đúng.

– Ta có: $A A^{'} \cdot A B = A A^{'} \cdot A B \cdot cos (A A^{'}, A B)$

$= A A^{'} \cdot A B \cdot cos A^{'} A B = a \cdot a \cdot cos 6 0^{\circ} = \frac{a ^{2}}{2}$ .

Do đó, ý b) sai.

– Ta có $D A B = 18 0^{\circ} - A B C = 12 0^{\circ}$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $A B D$ , ta có:

$D B = A D^{2} + A B^{2} - 2 A D \cdot A B \cdot cos D A B = a 3$ .

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $D^{'} A^{'} + D^{'} C^{'} = D^{'} B^{'} = D B$ .

Suy ra $D^{'} A^{'} + D^{'} C^{'} = D B = D B = a 3$ . Vậy ý c) đúng.

– Ta có: $A A^{'} \cdot A D = A A^{'} \cdot A D \cdot cos (A A^{'}, A D)$

$= A A^{'} \cdot A D \cdot cos A^{'} A D = a \cdot a \cdot cos 6 0^{\circ} = \frac{a ^{2}}{2}$ .

Khi đó, $A A^{'} \cdot < / s p an >< s p an > A C = A A^{'} \cdot (A B + A D) = A A^{'} \cdot A B + A A^{'} \cdot A D = \frac{a ^{2}}{2} + \frac{a ^{2}}{2} = a^{2}$ .

Vậy ý d) đúng.

Câu 17

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x + m}{x + 2024}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

Đáp án và lời giải

Đáp án: $2\,023$

Câu 18

Gọi

M

và

m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = 2 cos^{3} x - \frac{9}{2} cos^{2} x + 3 cos x + \frac{1}{2}

. Giá trị của biểu thức

3 M - 2 m

bằng bao nhiêu?

Đáp án và lời giải

Đáp án: $21$

Câu 19

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A = a, S B = b, S C = c$ và các điểm $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A B, S C$ . Các điểm $P, Q$ nằm trên các đường thẳng $S A, B N$ sao cho $P Q // C M$ . Khi biểu diễn vectơ $P Q$ theo ba vectơ $a, b, c$ , ta được: $P Q = - \frac{m}{n} a - \frac{p}{q} b + \frac{r}{z} c$ (với $\frac{m}{n}, \frac{p}{q}, \frac{r}{z}$ là các phân số tối giản và $m, n, p, q, r, z \in Z$ ). Giá trị của biểu thức $\frac{m}{n} + \frac{p}{q} + \frac{r}{z}$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án và lời giải

Đáp án: $1,3$

Câu 20

Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe Honda Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 triệu đồng và bán ra với giá 31 triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu triệu đồng để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất.

Đáp án và lời giải

Đáp án: $30,5$

Câu 21

Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60 cm, thể tích là 96 000 cm³, người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70 000 đồng/m² và loại kính để làm mặt đáy có giá thành là 100 000 đồng/m². Chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là bao nhiêu nghìn đồng?

Đáp án và lời giải

Đáp án: $83,2$

Câu 22

Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc $12 0^{\circ}$ và có độ lớn lần lượt là $15$ N và $12$ N. Lực thức ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn $9$ N. Độ lớn của hợp lực của ba lực trên bằng bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án và lời giải

Đáp án: $16,4$