Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Quang Trung (Đống Đa-Hà Nội) có đáp án

a) Lập hệ bất phương trình:

Theo đề bài, ta có các điều kiện ràng buộc thực tế như sau:

Diện tích và đất trồng không thể âm: $x\ge 0$ và $y\ge 0$.

Tổng diện tích trồng hai loại khoai không vượt quá tổng diện tích đất là 8 ha:

$x+y\le 8$

Tổng số ngày công sử dụng không vượt quá 90 ngày công:

$10x+15y\le 90\iff 2x+3y\le 18$

Vậy hệ bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán là: $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 8\\ 2x+3y\le 18\end{array}$.

b) Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$:

Đường thẳng $d_1:x+y=8$ đi qua các điểm $\left(8;0\right)$ và $\left(0;8\right)$. Miền nghiệm của $x+y\le 8$ là nửa mặt phẳng bờ $d_1$ chứa gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$.

Đường thẳng $d_2:2x+3y=18$ đi qua các điểm $\left(9;0\right)$ và $\left(0;6\right)$. Miền nghiệm của $2x+3y\le 18$ là nửa mặt phẳng bờ $d_2$ chứa gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$.

Điều kiện $x\ge 0,y\ge 0$ giới hạn miền nghiệm nằm ở góc phần tư thứ nhất.

Giao giao của các miền nghiệm trên là miền tứ giác $OABC$ (bao gồm cả các cạnh bờ), với các đỉnh có tọa độ:

$O\left(0;0\right)$

$A\left(8;0\right)$

$B\left(6;2\right)$ (tọa độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$)

$C\left(0;6\right)$

Dựa vào hình vẽ trong đề bài, ta chuẩn hóa các ký hiệu hình học như sau:

Kính quan sát đặt tại vị trí điểm $C$. Đường nằm ngang qua mắt người quan sát là đường thẳng chứa đoạn $CD=18\mathrm{m}$.

Tòa nhà có chân đặt tại mặt đất là điểm $E$, tầng mái tòa nhà (chân cột cờ) là điểm $A$.

Đỉnh cột cờ là điểm $B$.

Đài quan sát cao 5 m so với mặt đất $\Rightarrow CF=5\mathrm{m}$.

Do tứ giác $CDEF$ là hình chữ nhật nên cạnh đứng thẳng mặt đất $DE=CF=5\mathrm{m}$, và khoảng cách ngang $CD=FE=18\mathrm{m}$.

Xét tam giác vuông $ADC$ vuông tại $D$:

Ta có góc quan sát chân cột cờ $A$ là $\widehat{ACD}=40^{\circ }$.

Độ dài đoạn $AD$ biểu diễn độ cao từ mái nhà xuống đường ngang tầm mắt:

$AD=CD\cdot \tan \widehat{ACD}=18\cdot \tan 40^{\circ }\approx 15,1\mathrm{m}$

Vì điểm $D$ nằm trên cấu trúc đứng thẳng của tòa nhà, chiều cao tòa nhà $AE$ bằng:

$AE=AD+DE\approx 15,1+5=20,1\mathrm{m}$

Xét tam giác vuông $BDC$ vuông tại $D$:

Ta có góc quan sát đỉnh cột cờ $B$ là $\widehat{BCD}=50^{\circ }$.

Độ dài đoạn thẳng $BD$:

$BD=CD\cdot \tan \widehat{BCD}=18\cdot \tan 50^{\circ }\approx 21,45\mathrm{m}$

Chiều cao cột cờ chính là độ dài đoạn thẳng $AB$:

$AB=BD-AD\approx 21,45-15,1=6,35\mathrm{m}$

Kết luận: Chiều cao của cột cờ khoảng $6,35\mathrm{m}$.

Chiều cao của tòa nhà khoảng $20,1\mathrm{m}$.