Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 Trung học thực hành Sài Gòn (TP.HCM) có đáp án

Hàm số $f\left(x\right)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong căn ở mẫu thức nhận giá trị dương:

            $25-5x>0$$\iff 5x<25$$\iff x<5$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\left(-\infty ;5\right)$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Toạ độ đỉnh $I$: $x_I=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot \left(-1\right)}=1$; $y_I=-1^2+2\cdot 1+3=4\Rightarrow I\left(1;4\right)$.

Trục đối xứng: đường thẳng $x=1$.

Hệ số $a=-1<0$ nên bề lõm của parabol hướng xuống dưới và hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;1\right)$ và nghịch biến trên $\left(1;+\infty \right)$.

Bảng biến thiên:

y=−x2+2x+3. (ảnh 1)">

Đổi $50000$ đồng $=50$ nghìn đồng.

Điều kiện của giá bán $x$: $x>50$ và $150-x>0\Rightarrow 50<x<150$.

Lợi nhuận từ mỗi cuốn sách bán ra là: $x-50$ (nghìn đồng).

Tổng lợi nhuận trong một tháng của cửa hàng là: $f\left(x\right)=\left(x-50\right)\left(150-x\right)$$=-x^2+200x-7500$.

Đây là hàm số bậc hai có hệ số $a=-1<0$, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol:

$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{200}{2\cdot \left(-1\right)}=100$.

Vì $x=100$ thỏa mãn điều kiện $50<x<150$, nên lợi nhuận thu được trong một tháng của cửa hàng đạt giá trị lớn nhất khi giá bán mỗi cuốn sách là $100$ nghìn đồng (tức là $100000$ đồng).

a) Mẫu số liệu tổ B có cỡ mẫu $n=11$.

Số trung bình của tổ B là: ${\bar{x}}_B=\frac{0,5+7,0+8,5+9,0+9,0+9,0+9,5+9,5+9,5+9,8+10,0}{11}=\frac{91,3}{11}\approx 8,30$.

Phương sai $s_B^2=\frac{{0,5}^2+{7,0}^2+{8,5}^2+{9,0}^2+{9,0}^2+{9,0}^2+{9,5}^2+{9,5}^2+{9,5}^2+{9,8}^2+{10,0}^2}{11}-8,3^2\approx 6,68$.

Độ lệch chuẩn $s_B=\sqrt{s_B^2}\approx \sqrt{6,68}\approx 2,58$.

b)

So sánh ban đầu bằng số trung bình:

Số trung bình của tổ A là: ${\bar{x}}_A=\frac{7,3+8,3+7,8+8,0+8,8+8,0+8,5+9,0+7,5+8,3+9,8}{11}=\frac{91,3}{11}=8,30$.

Vì ${\bar{x}}_A={\bar{x}}_B=8,30$, nếu chỉ dựa vào số trung bình ban đầu thì điểm kiểm tra trung bình của học sinh hai tổ A và B là như nhau.

Xác định giá trị ngoại lệ:

Xét mẫu số liệu tổ A:

Sắp xếp: $7,3;7,5;7,8;8,0;8,0;8,3;8,3;8,5;8,8;9,0;9,8$.

Khi đó, $Q_{1A}=7,8$; $Q_{3A}=8,8\Rightarrow {\mathrm{\Delta }}_{QA}=Q_{3A}-Q_{1A}=1,0$.

Khoảng chấp nhận: $\left[7,8-1,5\cdot 1,0;8,8+1,5\cdot 1,0\right]=\left[6,3;10,3\right]$.

Tổ A không có giá trị ngoại lệ.

Xét mẫu số liệu tổ B:

Sắp xếp: $0,5;7,0;8,5;9,0;9,0;9,0;9,5;9,5;9,5;9,8;10,0$.

Khi đó, $Q_{1B}=8,5$; $Q_{3B}=9,5\Rightarrow {\mathrm{\Delta }}_{QB}=Q_{3B}-Q_{1B}=1,0$.

Khoảng chấp nhận: $\left[8,5-1,5\cdot 1,0;9,5+1,5\cdot 1,0\right]=\left[7,0;11,0\right]$.

Giá trị $0,5<7,0$ nên $0,5$ là giá trị ngoại lệ của tổ B.

So sánh lại sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ $0,5$ của tổ B:

Mẫu số liệu tổ B mới gồm 10 học sinh có điểm:

$7,0;8,5;9,0;9,0;9,0;9,5;9,5;9,5;9,8;10,0$.

Số trung bình mới của tổ B là: ${{\bar{x}}_B}^{\prime }=\frac{91,3-0,5}{10}=\frac{90,8}{10}=9,08$.

Vì $${{\bar{x}}_B}^{\prime }=9,08>8,30={\bar{x}}_A$$, nên sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ, điểm kiểm tra của các học sinh tổ B cao hơn điểm kiểm tra của các học sinh tổ A.

a) Vì là tam giác đều cạnh $a$ nên $AB=AC=a$ và $\widehat{BAC}=60^{\circ }$.

Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ là: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AC}\right|\cdot \cos \widehat{BAC}=a\cdot a\cdot \cos 60^{\circ }=a^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}$.

b) Từ giả thiết $EA=2EC$ và $E\in AC$, ta có $\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.

Từ giả thiết $FB=4FC$ và $F\in BC$, ta có $BF=\frac{4}{5}BC$, suy ra $\overrightarrow{BF}=\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$.

Biểu diễn $\overrightarrow{BE}$ và $\overrightarrow{AF}$ theo hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:

$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$;

$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}$.

Xét tích vô hướng $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AF}$:

$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AF}=\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\cdot \left(\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}\right)$$=\frac{2}{15}\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}+\frac{8}{15}{\overrightarrow{AC}}^2-\frac{1}{5}{\overrightarrow{AB}}^2-\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$

$=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\frac{8}{15}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2-\frac{1}{5}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2$.

Thay $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{a^2}{2}$ và ${\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2={\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2=a^2$ vào biểu thức:

$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AF}=-\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{a^2}{2}\right)+\frac{8}{15}{a}^2-\frac{1}{5}{a}^2$$=-\frac{1}{3}{a}^2+\frac{8}{15}{a}^2-\frac{1}{5}{a}^2=\left(-\frac{5}{15}+\frac{8}{15}-\frac{3}{15}\right)a^2=0$.

Vì $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AF}=0$ nên $BE\perp AF$.