Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Trần Phú (TP.HCM) có đáp án

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Sự biến thiên:

o    Hệ số $a=-1<0$, $b=2$, $c=3$.

o    Tọa độ đỉnh $I$: $x_I=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot \left(-1\right)}=1$; $y_I=-1^2+2\cdot 1+3=4\Rightarrow I\left(1;4\right)$.

o    Trục đối xứng là đường thẳng $x=1$.

o    Khoảng biến thiên: Vì $a=-1<0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$.

o    Bảng biến thiên:

y=−x2+2x+3 có đồ thị $\left(P\right)$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left(P\right)$ của hàm số. (ảnh 1)">

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $O$ trùng với vị trí trên mặt đất thẳng đứng dưới điểm $A$.

Theo đề bài, tọa độ các điểm như sau: $A\left(0;1,8\right)$, $C\left(2,5;3,6\right)$, $B\left(10;1,8\right)$.

Giả sử phương trình parabol biểu diễn đường đi của quả bóng là: $y=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$.

Do điểm $A\left(0;1,8\right)\in \left(P\right)\Rightarrow c=1,8$.

Thay tọa độ $B\left(10;1,8\right)$ và $C\left(2,5;3,6\right)$ vào phương trình ta được hệ $$\{\begin{array}{l}100a+10b+1,8=1,8\\ 6,25a+2,5b+1,8=3,6\end{array}$$

Giải hệ ta được $\{\begin{array}{l}a=-0,096\\ b=0,96\end{array}$.

Do đó, phương trình parabol là: $y=-0,096x^2+0,96x+1,8$.

Tọa độ đỉnh $I\left(x_I;y_I\right)$ của parabol:

$x_I=-\frac{b}{2a}=-\frac{0,96}{2\cdot \left(-0,096\right)}=5$; $y_I=-0,096\cdot 5^2+0,96\cdot 5+1,8=-2,4+4,8+1,8=4,2$.

Hàm số bậc hai có hệ số $a=-0,096<0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.

Vậy độ cao lớn nhất của quả bóng so với mặt đất khi Toàn chuyền cho Thắng là $4,2\mathrm{m}$.

a) Chu vi mảnh đất hình tam giác $ABC$ là: $P=AB+AC+BC=12+8=20\mathrm{m}$.

b) Đặt $AB=c$, $AC=b$, $BC=a=8$.

Theo giả thiết: $b+c=12\Rightarrow b=12-c$.

Góc $B=60^{\circ }$.

Áp dụng định lý côsin cho tam giác $ABC$:

                                     $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$

$\iff {\left(12-c\right)}^2=8^2+c^2-2\cdot 8\cdot c\cdot \cos 60^{\circ }$

                      $\iff 144-24c+c^2=64+c^2-8c$

                $\iff 16c=80\iff c=5\mathrm{m}$.

Suy ra $AB=5\mathrm{m}$ và $AC=12-5=7\mathrm{m}$.

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p=\frac{P}{2}=\frac{20}{2}=10\mathrm{m}$.

Diện tích tam giác $ABC$ là: $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot \sin 60^{\circ }=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}{\mathrm{m}}^2$.

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là: $r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}\approx 1,7\mathrm{m}$.

a) Vì $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ có $AB//CD$, $AB=a$ và $CD=2a$, ta có:

• $\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{AB}$ (vì $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ và $CD=2AB$).
• $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}$.

Biểu diễn tổng hai vectơ: $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\right)+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{AB}$.

Do $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ nên $DA\perp AB$, suy ra hai vectơ $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{AB}$ vuông góc với nhau.

Khi đó $\left|\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right|{}^2=\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{3AB}\right|{}^2=\left|\overrightarrow{DA}\right|{}^2+\left|3\overrightarrow{AB}\right|{}^2+2\overrightarrow{DA}\cdot 3\overrightarrow{AB}=a^2+{\left(3a\right)}^2+0=10a^2$.

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right|=a\sqrt{10}$.

b)Vì $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MC}\Rightarrow \overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Rightarrow \overrightarrow{BM}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}\overrightarrow{BC}$.

Xét tam giác $BDC$:

• $BH$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $CD$ (do $H$ là trung điểm $CD$).
• $DM$ là đường thẳng nối từ đỉnh $D$ cắt cạnh $BC$ tại $M$ với $BM=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}BC$.

$K$ là giao điểm của $BH$ và $DM$.

Sử dụng phương pháp biểu diễn vectơ:

Do $K\in BH\Rightarrow \overrightarrow{BK}=x\overrightarrow{BH}$ với $x\in \mathbb{R}$.

Ta có: $\overrightarrow{BH}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right)$$\Rightarrow \overrightarrow{BK}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{2}\overrightarrow{BD}+\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{2}\overrightarrow{BC}$.

Ta biểu diễn $\overrightarrow{DK}$ theo $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{BC}$ ta có $\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{BD}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{2}-1\right)\overrightarrow{BD}+\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{2}\overrightarrow{BC}$.

Tương tự, với điểm $M$ ta có: $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{BD}+\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}\overrightarrow{BC}$.

Mặt khác, $K\in DM$ nên ba điểm $D,K,M$ thẳng hàng.

Vì $\overrightarrow{DK}$ cùng phương với $\overrightarrow{DM}$ nên tỉ số các hệ số tương ứng phải bằng nhau, tức là

$\genfrac{}{}{0ex}{}{\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{2}-1}{-1}=\genfrac{}{}{0ex}{}{\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{2}}{\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}}$$\iff 1-\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}x\iff 1=\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}x=\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{6}x\iff x=\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{7}$.

Thay $x=\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{7}$ vào biểu thức của $\overrightarrow{BK}$ ta được $\overrightarrow{BK}=\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{7}\cdot \genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right)=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{7}\overrightarrow{BD}+\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{7}\overrightarrow{BC}$.