Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án - mã đề 3456

Vẽ các đường thẳng ranh giới trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$:

Trục $Ox:y=0$ và trục $Oy:x=0$.

Đường thẳng $d_1:x+y=6$ đi qua $\left(0;6\right)$ và $\left(6;0\right)$.

Đường thẳng $d_2:3x+y=9$ đi qua $\left(0;9\right)$ và $\left(3;0\right)$.

Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình:

$x\ge 0$: Nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$.

$y\ge 0$: Nửa mặt phẳng bên trên trục $Ox$.

$x+y\le 6$: Thử điểm $O\left(0;0\right)$, ta có $0+0=0\le 6$ (đúng), miền nghiệm chứa gốc tọa độ $O$.

$3x+y\le 9$: Thử điểm $O\left(0;0\right)$, ta có $3\cdot 0+0=0\le 9$ (đúng), miền nghiệm chứa gốc tọa độ $O$.

Miền nghiệm của hệ:

Miền nghiệm của hệ là tứ giác $OABC$ (bao gồm cả các cạnh), với tọa độ các đỉnh:

$O\left(0;0\right)$

$A\left(3;0\right)$ (giao điểm của $d_2$ với $Ox$)

$B\left(1,5;4,5\right)$ (nghiệm của hệ $\{\begin{array}{c}x+y=6\\ 3x+y=9\end{array}$)

$C\left(0;6\right)$ (giao điểm của $d_1$ với $Oy$).

A(3;0) (giao điểm của $d_2$ với $Ox$) (ảnh 1)">

Gọi $x,y$ (đơn vị: kg) lần lượt là khối lượng sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất (điều kiện $x\ge 0,y\ge 0$).

Số nguyên liệu sử dụng: $2x+4y(\mathrm{kg})$.

Số giờ làm việc sử dụng: $30x+15y$ (giờ).

Theo bài ra, ta có hệ bất phương trình ràng buộc: $\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+4y\le 200\\ 30x+15y\le 1200\end{array}$ hay $$\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+2y\le 100\\ 2x+y\le 80\end{array}$$.

Số tiền lời thu được là: $F\left(x;y\right)=40x+30y$ (nghìn đồng).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác $OABC$ kể cả biên với các đỉnh:

$O\left(0;0\right)$

$A\left(40;0\right)$ (giao điểm của $2x+y=80$ với trục $Ox$)

$B\left(20;40\right)$ (giao điểm của hai đường thẳng $x+2y=100$ và $2x+y=80$)

$C\left(0;50\right)$ (giao điểm của $x+2y=100$ với trục $Oy$)

A(3;0) (giao điểm của $d_2$ với $Ox$) (ảnh 1)">

Tính giá trị của $F\left(x;y\right)$ tại các đỉnh:

$F\left(O\right)=F\left(0;0\right)=0$

$F\left(A\right)=F\left(40;0\right)=40\cdot 40+30\cdot 0=1600$

$F\left(B\right)=F\left(20;40\right)=40\cdot 20+30\cdot 40=800+1200=2000$

$F\left(C\right)=F\left(0;50\right)=40\cdot 0+30\cdot 50=1500$

So sánh các giá trị, $F\left(x;y\right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $2000$ nghìn đồng tại $x=20$ và $y=40$.

Kết luận: Xưởng nên sản xuất $20\mathrm{kg}$ sản phẩm loại I và $40\mathrm{kg}$ sản phẩm loại II để thu được lợi nhuận cao nhất.

Thời gian đi đoạn đường bằng $AC$: $t_{AC}=\frac{AC}{v_1}=\frac{10}{100}=0,1$ (giờ).

Tính độ dài hai đoạn dốc $CD$ và $DB$:

Trong tam giác $BCD$, ta có: $\widehat{BDC}=180^{\circ }-\left(\widehat{DCB}+\widehat{DBC}\right)=180^{\circ }-\left(45^{\circ }+30^{\circ }\right)=105^{\circ }$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác $BCD$: $\frac{CD}{\sin \left(\widehat{DBC}\right)}=\frac{DB}{\sin \left(\widehat{DCB}\right)}=\frac{BC}{\sin \left(\widehat{BDC}\right)}$.

Suy ra $CD=BC\cdot \frac{\sin 30^{\circ }}{\sin 105^{\circ }}=20\cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{40}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=10\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)(\mathrm{km})$;

$DB=BC\cdot \frac{\sin 45^{\circ }}{\sin 105^{\circ }}=20\cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{40\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=20\left(\sqrt{3}-1\right)(\mathrm{km})$.

Thời gian leo dốc $CD$: $t_{CD}=\frac{CD}{v_2}=\frac{10\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{10}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$ (giờ).

Thời gian xuống dốc $DB$: $t_{DB}=\frac{DB}{v_3}=\frac{20\left(\sqrt{3}-1\right)}{50}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{5}$ (giờ).

Tổng thời gian hoàn thành chặng đường từ $A$ đến $B$:

$t=t_{AC}+t_{CD}+t_{DB}=0,1+\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)+\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{5}\approx 1,428$ (giờ).

Kết luận: Vận động viên mất khoảng $1,428$ giờ (khoảng $1$ giờ $25\mathrm{ph}\acute{\mathrm{u}}\mathrm{t}41\mathrm{gi}\hat{\mathrm{a}}\mathrm{y}$) để hoàn thành chặng đường.