Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án - mã đề 1234

Vẽ các đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$:

$d_1:-2x+y=2$ đi qua điểm $\left(-1;0\right)$ và $\left(0;2\right)$.

$d_2:-x+2y=4$ đi qua điểm $\left(-4;0\right)$ và $\left(0;2\right)$.

$d_3:x+y=5$ đi qua điểm $\left(5;0\right)$ và $\left(0;5\right)$.

$d_4:y=0$ (trục hoành $Ox$).

Xác định nửa mặt phẳng nghiệm cho từng bất phương trình:

Thử gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$:

$-2\cdot 0+0=0\le 2$ (Đúng) nên miền nghiệm chứa $O\left(0;0\right)$.

$-0+2\cdot 0=0\le 4$ (Đúng) nên miền nghiệm chứa $O\left(0;0\right)$.

$0+0=0\le 5$ (Đúng) nên miền nghiệm chứa $O\left(0;0\right)$.

$y\ge 0$ là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục $Ox$.

Tọa độ giao điểm của các đường giới hạn:

Giao điểm của $d_1$ và $d_4$: $M\left(-1;0\right)$.

Giao điểm của $d_3$ và $d_4$: $N\left(5;0\right)$.

Giao điểm của $d_1$ và $d_2$: Giải hệ $\{\begin{array}{l}-2x+y=2\\ -x+2y=4\end{array}\Rightarrow P\left(0;2\right)$.

Giao điểm của $d_2$ và $d_3$: Giải hệ $\{\begin{array}{l}-x+2y=4\\ x+y=5\end{array}\Rightarrow Q\left(2;3\right)$.

Kết luận: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $MNQP$ (bao gồm cả biên) với tọa độ các đỉnh là $M\left(-1;0\right)$, $N\left(5;0\right)$, $Q\left(2;3\right)$, $P\left(0;2\right)$.

Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng dứa, $y$ (ha) là diện tích trồng củ đậu ($x\ge 0,y\ge 0$).

Theo đề bài, ta có các ràng buộc:

Tổng diện tích không vượt quá $8\mathrm{ha}$: $x+y\le 8$.

Tổng số công không vượt quá $180$: $20x+30y\le 180\Rightarrow 2x+3y\le 18$.

Ta thu được hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 8\\ 2x+3y\le 18\end{array}$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $OABC$ với các đỉnh:

$O\left(0;0\right)$, $A\left(8;0\right)$, $B\left(6;2\right)$ (là giao điểm của $x+y=8$ và $2x+3y=18$), $C\left(0;6\right)$.

Tổng số tiền thu được (đơn vị: triệu đồng) là: $F\left(x;y\right)=3x+4y$.

Tính giá trị $F\left(x;y\right)$ tại các đỉnh của miền nghiệm:

Tại $O\left(0;0\right)$: $F\left(0;0\right)=3\cdot 0+4\cdot 0=0$.

Tại $A\left(8;0\right)$: $F\left(8;0\right)=3\cdot 8+4\cdot 0=24$.

Tại $B\left(6;2\right)$: $F\left(6;2\right)=3\cdot 6+4\cdot 2=26$.

Tại $C\left(0;6\right)$: $F\left(0;6\right)=3\cdot 0+4\cdot 6=24$.

So sánh các giá trị, $F\left(x;y\right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $26$ triệu đồng tại $x=6$ và $y=2$.

Kết luận: Hộ nông dân cần trồng $6\mathrm{ha}$ dứa và $2\mathrm{ha}$ củ đậu để thu được nhiều tiền nhất là $26$ triệu đồng.

Thời gian đi đoạn đường bằng $AC$: $t_{AC}=\frac{AC}{v_1}=\frac{10}{100}=0,1$ (giờ).

Tính độ dài hai đoạn dốc $CD$ và $DB$:

Trong tam giác $BCD$, ta có: $\widehat{BDC}=180^{\circ }-\left(\widehat{DCB}+\widehat{DBC}\right)=180^{\circ }-\left(45^{\circ }+30^{\circ }\right)=105^{\circ }$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác $BCD$: $\frac{CD}{\sin \left(\widehat{DBC}\right)}=\frac{DB}{\sin \left(\widehat{DCB}\right)}=\frac{BC}{\sin \left(\widehat{BDC}\right)}$.

Suy ra $CD=BC\cdot \frac{\sin 30^{\circ }}{\sin 105^{\circ }}=20\cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{40}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=10\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)(\mathrm{km})$;

$DB=BC\cdot \frac{\sin 45^{\circ }}{\sin 105^{\circ }}=20\cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{40\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=20\left(\sqrt{3}-1\right)(\mathrm{km})$.

Thời gian leo dốc $CD$: $t_{CD}=\frac{CD}{v_2}=\frac{10\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{10}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$ (giờ).

Thời gian xuống dốc $DB$: $t_{DB}=\frac{DB}{v_3}=\frac{20\left(\sqrt{3}-1\right)}{50}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{5}$ (giờ).

Tổng thời gian hoàn thành chặng đường từ $A$ đến $B$:

$t=t_{AC}+t_{CD}+t_{DB}=0,1+\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)+\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{5}\approx 1,428$ (giờ).

Kết luận: Vận động viên mất khoảng $1,428$ giờ (khoảng $1$ giờ $25\mathrm{ph}\acute{\mathrm{u}}\mathrm{t}41\mathrm{gi}\hat{\mathrm{a}}\mathrm{y}$) để hoàn thành chặng đường.