Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Kim Liên (Hà Nội) có đáp án

Gọi $x$ là số chiếc bàn và $y$ là số chiếc ghế mà cơ sở sản xuất trong một ngày ($x,y\in \mathbb{N}$).

Thời gian máy cắt gỗ hoạt động trong một ngày là $3x+y$ (giờ).

Thời gian máy đánh bóng hoạt động trong một ngày là $2x+2y$ (giờ).

Từ điều kiện bài toán, ta có hệ bất phương trình biểu diễn miền nghiệm: $\{\begin{array}{l}3x+y\le 6\\ 2x+2y\le 8\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$.

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $OABC$ với tọa độ các đỉnh:

$O\left(0;0\right)$

$A\left(2;0\right)$ (giao điểm của $3x+y=6$ và trục $Ox$)

$B\left(1;3\right)$ (giao điểm của $3x+y=6$ và $x+y=4$)

$C\left(0;4\right)$ (giao điểm của $x+y=4$ và trục $Oy$)

Tổng số tiền lãi thu được trong một ngày là: $F\left(x;y\right)=2,5x+1,8y$ (triệu đồng).

Tính giá trị của $F\left(x;y\right)$ tại các đỉnh của miền nghiệm:

Tại $O\left(0;0\right)$: $F\left(0;0\right)=2,5\cdot 0+1,8\cdot 0=0$

Tại $A\left(2;0\right)$: $F\left(2;0\right)=2,5\cdot 2+1,8\cdot 0=5$

Tại $B\left(1;3\right)$: $F\left(1;3\right)=2,5\cdot 1+1,8\cdot 3=7,9$

Tại $C\left(0;4\right)$: $F\left(0;4\right)=2,5\cdot 0+1,8\cdot 4=7,2$

Giá trị lớn nhất của $F\left(x;y\right)$ đạt được tại đỉnh $B\left(1;3\right)$ với $F\left(1;3\right)=7,9$ triệu đồng.

Kết luận: Cơ sở nên sản xuất 1 chiếc bàn và 3 chiếc ghế mỗi ngày để thu được tiền lãi lớn nhất là $7,9$ triệu đồng.

a) Vì $I$ thuộc cạnh $BC$ và $IB=3IC$ nên $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$. Khi đó:

$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$.

b) Vì $K$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Vì $J$ thuộc cạnh $AC$ và $JA=2JC$ nên $AJ=\frac{2}{3}AC\Rightarrow \overrightarrow{AJ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.

Do đó: $\overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.

c) Vì $H\in AI$ nên tồn tại $k\in \mathbb{R}$ sao cho $\overrightarrow{AH}=k\overrightarrow{AI}$.

Do đó $\overrightarrow{AH}=k\left(\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{k}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3k}{4}\overrightarrow{AC}$.

Mặt khác, $H\in KJ$ nên hai vectơ $\overrightarrow{KH}$ và $\overrightarrow{KJ}$ cùng phương.

Ta có: $\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AK}=\left(\frac{k}{4}-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{3k}{4}\overrightarrow{AC}$.

Do $\overrightarrow{KH}$ cùng phương với $\overrightarrow{KJ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ nên tồn tại $m\in \mathbb{R}$ sao cho $\overrightarrow{KH}=m\overrightarrow{KJ}$, tức là

$\{\begin{array}{c}\frac{k}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}m\\ \frac{3k}{4}=\frac{2}{3}m\end{array}$.

Từ phương trình thứ hai suy ra $m=\frac{9}{8}k$.

Thế vào phương trình thứ nhất: $\frac{k}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{9}{8}k\right)\Rightarrow \frac{k}{4}+\frac{9k}{16}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{13k}{16}=\frac{1}{2}\Rightarrow k=\frac{8}{13}$.

Suy ra $\overrightarrow{AH}=\frac{8}{13}\overrightarrow{AI}$.

Với $A\left(2;-2\right)$ và $I\left(-1;4\right)$ ta có $\overrightarrow{AI}=\left(-1-2;4-\left(-2\right)\right)=\left(-3;6\right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\frac{8}{13}\left(-3;6\right)=\left(-\frac{24}{13};\frac{48}{13}\right)$.

Tọa độ điểm $H\left(x_H;y_H\right)$ thỏa mãn: $\{\begin{array}{c}{x}_H=2-\frac{24}{13}=\frac{2}{13}\\ y_H=-2+\frac{48}{13}=\frac{22}{13}\end{array}$.

Vậy tọa độ điểm $H$ là $H\left(\frac{2}{13};\frac{22}{13}\right)$.