Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án (Đề 9)

4 câu · Đề cuối kì 2

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

1) Giải phương trình sau: x² – 2x – 1 = 0

2) Rút gọn biểu thức: A = $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2 \sqrt{x} - 4}{x - 4}$ (với x ≥ 0; x ≠ 4).

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1) x² – 2x $\frac{- 2}{\sqrt{x} - 2}$ 1 = 0 (với a = 1, b’ = = −1, c = −1)

Ta có: ∆’ = b’² – ac = (−1)² + 1 = 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = $\frac{- b' + \sqrt{Δ'}}{a}$ = 1 + $\sqrt{2}$ ; x₂ = $\frac{- b' - \sqrt{Δ'}}{a}$ = 1 − $\frac{- b' - \sqrt{Δ'}}{a}$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = 1 + $\sqrt{2}$ ; x₂ = 1 − $\sqrt{2}$ .

2) A = $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2 \sqrt{x} - 4}{x - 4}$

= $\frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} + \frac{2 \sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}$

= $\frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) - \sqrt{x} . (\sqrt{x} + 2) + 2 \sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

= $\frac{x - 2 \sqrt{x} - x - 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}$

= $\frac{- 2 \sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}$ = $\frac{- 2 (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}$

= $\frac{- 2}{\sqrt{x} - 2}$ .

Vậy A = $\frac{- 2}{\sqrt{x} - 2}$ với x ≥ 0; x ≠ 4.

Câu 2

Câu tự luận

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h. Vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi x (km/h) là vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B (x > 0).

Thời gian của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là $\frac{36}{x}$ (giờ)

Vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ B đến A là x + 3 (km/h)

Thời gian của người đi xe đạp khi đi từ B đến A là $\frac{36}{x + 3}$ (giờ)

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút = $\frac{3}{5}$ giờ nên ta có phương trình:

$\frac{36}{x} - \frac{36}{x + 3} = \frac{3}{5}$

Û 180(x + 3) – 180x = 3x(x + 3)

Û 180x + 540 – 180x = 3x² + 9x

Û 3x² + 9x – 540 = 0

Û x² + 3x – 180 = 0 (a = 1, b = 3, c = −180)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 3² – 4.1.(−180) = 729 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x₁ = $\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ = 12 (nhận)

x₂ = $\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ = −15 (loại)

Vậy vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là 12 km/h.

Câu 3

Câu tự luận

Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O; R) (Với A, B là hai tiếp điểm). Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn (O; R) tại E. Đoạn ME cắt đường tròn (O; R) tại F. Hai đường thẳng AF và MB cắt nhau tại I.

1) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn và IB² = IF.IA.

2) Chứng minh IM = IB.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O; R) (Với A, B là hai tiếp điểm). Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn (O; R) tại E. Đoạn ME cắt đường tròn (O; R) tại F. Hai đường thẳng AF và MB cắt nhau tại I. 1) (ảnh 1)

1) Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên MA ^ OA.

Suy ra $\hat{O A M}$ = 90°.

Tương tự $\hat{O B M}$ = 90° nên $\hat{O A M} + \hat{O B M}$ = 180°.

Do đó tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Do IB là tiếp tuyến của (O) ta có $\hat{F A B} = \hat{I B F} = \frac{1}{2} B F$ hay $\hat{I A B} = \hat{I B F}$

Xét ∆IBA và ∆IFB có:

$\hat{B I A}$ là góc chung

$\hat{I A B} = \hat{I B F}$ (cmt)

Do đó ∆IBA ∆IFB (g.g)

Suy ra $\frac{I B}{I F} = \frac{I A}{I B}$ (các cạnh tương ứng)

Do đó IB² = IF.IA (đpcm) (1)

2) Vì AE // MB (gt) nên $\hat{E M B} = \hat{M E A}$ (hai góc so le trong) hay $\hat{F M I} = \hat{F E A}$ (2)

Do MA là tiếp tuyến của (O) ta có $\hat{M A F} = \hat{F E A} = \frac{1}{2} A F$ hay $\hat{M A I} = \hat{F E A}$ (3)

Từ (2) và (3) suy ra $\hat{F M I} = \hat{M A I}$ .

Xét ∆IMF và ∆IAM có:

$\hat{I A M}$ là góc chung

$\hat{F M I} = \hat{M A I}$ (cmt)

Do đó ∆IMF $∽$ ∆IAM (g.g)

Suy ra $\frac{I M}{I A} = \frac{I F}{I M}$ (các cạnh tương ứng)

Do đó IM² = IF.IA (4)

Từ (1) và (4) suy ra IB² = IM² Þ IB = IM (đpcm)

Vậy IB = IM.

Câu 4

Câu tự luận

Giải phương trình

\sqrt{3 x^{2} + 6 x + 7} + \sqrt{5 x^{2} + 10 x + 21} = 5 - 2 x - x^{2}

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

+) $\sqrt{3 x^{2} + 6 x + 7}$ = $\sqrt{3 (x^{2} + 2 x + 1) + 4}$ = $\sqrt{3 {(x + 1)}^{2} + 4}$

Vì 3(x + 1)² + 4 ≥ 4 Þ $\sqrt{3 {(x + 1)}^{2} + 4}$ ≥ 2

+) $\sqrt{5 x^{2} + 10 x + 21}$ = $\sqrt{5 (x^{2} + 2 x + 1) + 16}$ = $\sqrt{5 {(x + 1)}^{2} + 16}$

Vì 5(x + 1)² + 16 ≥ 16 Þ $\sqrt{5 {(x + 1)}^{2} + 16}$ ≥ 4

Þ VT ≥ 2 + 4 = 6

Dấu “=” xảy ra Û x + 1 = 0 Û x = −1.

VP: 5 − 2x – x² = −(x² + 2x – 5) = −(x² + 2x + 1 – 6) = 6 − (x + 1)² ≤ 6

Dấu “=” xảy ra khi Û x = −1

Þ VT = VP = 6 khi x = −1

Vậy phương trình có một nghiệm là x = −1.