Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Nam Từ Liêm (Hà Nội) có đáp án

a) Bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu đã cho:

b) Tỉ số phần trăm số hộ gia đình có mức chi cho giáo dục một năm từ$70$ triệu trở lên so với tổng số hộ gia đình là $\frac{11+7}{30}.100\%=60\%$.

a) Không gian mẫu của phép thử đó là $\Omega =\left\{\left(5;6\right);\left(5;7\right);\left(5;8\right);\left(6;7\right);\left(6;8\right);\left(7;8\right)\right\}$.

Vậy không gian mẫu có $6$phần tử.

b) Xác suất của biến cố A: “Số ghi trên hai viên bi là hai số tự nhiên liên tiếp” là $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Xác suất của biến cố B: “Hiệu của hai số ghi trên hai viên bi là số chẵn” là $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

Xác suất của biến cố C: “Tổng của hai số ghi trên hai viên bi là số nguyên tố” là $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

1) Thay $$x=9$$ (thỏa mãn) vào biểu thức A ta được

$$A=\frac{\sqrt{9}-9}{4-\sqrt{9}}=\frac{3-9}{4-3}=-6$$.

Vậy với $$x=9$$ thì $$A=-6$$.

2) Với $$x\ge 0;x\ne 16$$, ta có:

$$B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}-\frac{6}{4-\sqrt{x}}-\frac{24}{x-16}$$

$$B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}+\frac{6}{\sqrt{x}-4}-\frac{24}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}$$

$$B=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}+\frac{6\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}-\frac{24}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}$$

$$B=\frac{x-3\sqrt{x}-4+6\sqrt{x}+24-24}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}$$

$$B=\frac{x+3\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}$$

$$B=\frac{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-4}$$.

3) Với $$x\ge 0;x\ne 16$$, để $$A+B=\frac{5\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-4}$$ thì

$$\frac{\sqrt{x}-x}{4-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-4}=\frac{5\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-4}$$

$$\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-4}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-4}=\frac{5\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-4}$$

$$x-\sqrt{x}+\sqrt{x}-1=5\sqrt{x}-5$$

$$x-5\sqrt{x}+4=0$$

$$\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}-1\right)=0$$

$$\sqrt{x}-4=0$$ hoặc $$\sqrt{x}-1=0$$

$$x=16$$ hoặc $$x=1$$ (thỏa mãn).

Vậy với $$x=16$$ hoặc $$x=1$$ thì $$A+B=\frac{5\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-4}$$.

Gọi số áo may được trong một ngày của tổ thứ nhất là $x$ (áo), $x\in \mathbb{N}\ast$.

Số áo may được trong một ngày của tổ thứ hai là $x-10$ (áo).

Số áo may được trong $3$ ngày của tổ thứ nhất là $3x$ (áo).

Số áo may được trong $5$ ngày của tổ thứ hai là $5\left(x-10\right)$(áo).

Nếu tổ thứ nhất may trong $3$ ngày, tổ thứ hai may trong $5$ ngày thì cả hai tổ may được $$1310$$ chiếc áo nên ta có phương trình

$3x+5\left(x-10\right)=1310$

$\begin{array}{l}3x+5x-50=1310\\ 8x=1360\\ x=170\left(tm\right)\end{array}$

Số áo may được trong một ngày của tổ thứ nhất là $170$ áo.

Số áo may được trong một ngày của tổ thứ hai là $170-10=160$ áo.

Diện tích phần quạt tròn không dán giấy khoảng:

$S=\frac{\pi .R^2.n}{360}\approx \frac{\mathrm{3.14.}{\left(25-16\right)}^2.130}{360}=91,85$ (cm³).

Diện tích phần giấy để làm quạt khoảng:

$$S=2.\left(\frac{\pi {.25}^2.130}{360}-\frac{\pi {.16}^2.130}{360}\right)\approx 2.\left(\frac{{\mathrm{3.14.25}}^2.130}{360}-\frac{{\mathrm{3.14.16}}^2.130}{360}\right)=837,73$$ (cm²).

a) Xét $\left(O\right)$ có $\widehat{AMB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn suy ra $\widehat{AMB}=90^{\circ }$

Vì $CD\perp AB$ tại $O$ nên $\widehat{AOI}=90^{\circ }$

Xét $\Delta AMI$ vuông tại $M$, suy ra $\Delta AMI$ nội tiếp đường tròn đường kính $AI$.

Xét $\Delta AOI$ vuông tại $O$, suy ra $\Delta AOI$nội tiếp đường tròn đường kính $AI$.

Như vậy, bốn điểm $A;M;O;I$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AI$ hay tứ giác $AMIO$ nội tiếp đường tròn.

b) Xét $\left(O\right)$ có $MK$ tiếp tuyến tại $M$ của $\left(O\right)$ suy ra $\widehat{KMO}=90^{\circ }$

Vì $MP\perp CD$ tại điểm $P$ nên $\widehat{MPK}=90^{\circ }$

Ta có $\widehat{KMP}=90^{\circ }-\widehat{MKP}$ ($\Delta MKP$vuông tại $M$) (1)

$\widehat{KMP}=90^{\circ }-\widehat{PMO}$ ($\widehat{MPK}=90^{\circ }$)

Suy ra $\hat{K}=\widehat{PMO}$

$\Delta MPO$ vuông tại $P$ có $\widehat{PMO}=90^{\circ }-\widehat{MOP}$

Mà $\widehat{MOP}=2\widehat{MDI}$ (Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn )

Hay $\hat{K}=90^{\circ }-2\widehat{MDI}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{KMP}=90^{\circ }-\left(90^{\circ }-2\widehat{MDI}\right)$

Vậy $\widehat{KMP}=2\widehat{MDI}$.

Xét $\Delta OMP$ và $\Delta OKM$ có:

$\widehat{OMP}=\widehat{OKM}=90^{\circ }$ và $\widehat{MOP}$ chung

Do đó (g.g)

Suy ra $\frac{OM}{OP}=\frac{OK}{OM}$ hay $O{M}^2=OP.OK$

Mà $OM=OC=R$ nên $O{C}^2=OP.OK$.

c) Xét $\Delta CNB$ vuông tại $N$, suy ra $\Delta CNB$ nội tiếp đường tròn đường kính $CB$.

Xét $\Delta COB$ vuông tại $O$, suy ra $\Delta COB$ nội tiếp đường tròn đường kính $CB$.

Do đó tứ giác $CNOB$ nội tiếp đường tròn đường kính $CB$, nên $\widehat{ONB}=\widehat{OCB}$ (góc nội tiếp chắn

Xét $\left(O\right)$ có $\widehat{OCB}$ là góc nội tiếp chắn

$\widehat{DOB}$ là góc ở tâm chắn suy ra $\widehat{OCB}$=$\frac{1}{2}\widehat{DOB}=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$

Ta có $MP//AB$ (cùng vuông góc với $CD$) nên $\widehat{PMI}=\widehat{IBO}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat{OMI}=\widehat{IBO}$ $(\Delta OMB$ cân tại $M$) nên $\widehat{PMI}=\widehat{IMO}$

Vậy $MN$là tia phân giác $\widehat{DMO}$ (1)

Xét $\left(O\right)$ có $\widehat{DMN}=\widehat{DCB}$ (góc nội tiếp chắn ), suy ra $\widehat{DMN}=\widehat{ONB}$( Cùng bằng $\widehat{DCB}$)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $ON//MD$, suy ra $\widehat{MON}=\widehat{OMD}$ (hai góc so le trong)

Suy ra $\widehat{MON}=\frac{1}{2}\widehat{MOI}$ hay $ON$ là tia phân giác $\widehat{MOI}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $N$là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta MOP$.

Gọi giá tiền mỗi gian hàng tăng lên $$x$$ (triệu đồng) (ĐK: $$x>0$$)

Khi đó giá mỗi gian hàng sau khi tăng lên là $$100+x$$ (triệu đồng).

Cứ mỗi lần tăng $$5\%$$ tiền thuê mỗi gian hàng (tăng $$5\%.100=5$$ triệu đồng) thì có thêm 2 gian hàng trống nên khi tăng $$x$$ (triệu đồng) thì có thêm $$\frac{2x}{5}$$ gian hàng trống.

Khi đó số gian hàng được thuê sau khi tăng giá là $$100-\frac{2x}{5}$$ (gian hàng).

Số tiền thu được là $$\left(100+x\right)\left(100-\frac{2x}{5}\right)$$ (triệu đồng).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm $$x$$ để $$P=\left(100+x\right)\left(100-\frac{2x}{5}\right)$$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có:

$$P=\left(100+x\right)\left(100-\frac{2x}{5}\right)$$

$$=10000-40x+100x-\frac{2x^2}{5}$$

$$=-\frac{2}{5}\left(x^2-150x\right)+10000$$

$$=-\frac{2}{5}\left(x^2-2.75x+{75}^2\right)+\frac{2}{5}.75^2+10000$$

$$=-\frac{2}{5}{\left(x-75\right)}^2+12250$$

Ta có: $${\left(x-75\right)}^2\ge 0$$ với mọi $$x$$

Nên $$-\frac{2}{5}{\left(x-75\right)}^2\le 0$$

Suy ra $$-\frac{2}{5}{\left(x-75\right)}^2+12250\le 12250$$

Hay $$P\le 12250$$.

Dấu “=” xảy ra khi $$x=75$$ (thỏa mãn).

Vậy người quản lí phải cho thuê mỗi gian hàng với giá $$100+75=175$$ triệu đồng thì doanh thu của trung tâm thương mại từ tiền cho thuê gian hàng trong năm là lớn nhất.