Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Mai Dịch (Hà Nội) có đáp án

a) Với $x=9$ (TMĐK) nên $\sqrt{x}=3$, thay vào $A$ ta được: $$A=\frac{3-2}{3-1}=\frac{1}{2}$$.

Vậy $$A=\frac{1}{2}$$ khi $$x=9.$$

b) Với $$x\ge 0;x\ne 1$$, ta có:

$$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}+\frac{2}{x-1}$$$$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$

$$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}+1\right)+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$$$=\frac{x-\sqrt{x}-\sqrt{x}-1+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$

$$=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$$$=\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$$$=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$$.

Vậy $$x\ge 0;x\ne 1$$ thì $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$.

c) Với $$x\ge 0;x\ne 1$$, ta có: $$P=A\cdot B$$$$=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}$$.

⦁ Với $$x\ge 0;x\ne 1$$, ta có: $\left|P\right|+P=0$ suy ra $\left|P\right|=-P$ nên $P\le 0$.

Do đó $\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\le 0$ nên $\sqrt{x}-2\le 0$ suy ra $x\le 4$.

⦁ Kết hợp điều kiện xác định, ta có: $\{\begin{array}{l}0\le x\le 4\\ x\ne 1\end{array}$

Mà $$x$$ là số nguyên nên ta có: $x\in \{0;2;3;4\}$.

Gọi số thùng sữa xe có thể chở được là $$x$$ (thùng) $$\left(x\in \mathbb{N}\ast \right)$$.

Đổi: 5 tấn $$=5000$$ kg.

Theo đề bài:

$$10x+75\le 5000$$

$$x\le 492,5$$.

Vậy xe có thể chở tối đa 492 thùng sữa.

Gọi lượng cá mà cơ sở phải mua mỗi tuần theo kế hoạch là $x$ tấn ($0<x<120$).

Số tuần cơ sở đó định mua cá là: $$\frac{120}{x}$$ (tuần).

Thực tế mỗi tuần cơ sở đó thu mua được số cá là: $x+6$ (tấn).

Thực tế lượng cá cơ sở đó thu mua được là: $120+10=130$ (tấn).

Thực tế số tuần cơ sở đó thu mua cá là: $\frac{130}{x+6}$ (tuần).

Vì cơ sở đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần nên ta có phương trình :

$\frac{120}{x}-\frac{130}{x+6}=1$

$\frac{120\left(x+6\right)-130x}{x\left(x+6\right)}=1$

$\frac{720-10x}{x^2+6x}=1$

$x^2+16x-720=0$

$x=20$ (thỏa mãn) hoặc $x=-36$ (không thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch một tuần cơ sở đó thu mua 20 tấn cá.

a) $2x^2-9x+7=0$

Nhẩm $a+b+c=2-9+7=0$

Chỉ ra phương trình có hai nghiệm $x_1=1,x_2=\frac{7}{2}$.

b) $x^2+6\sqrt{2}x+2=0$

Ta có ${\Delta }^{\prime }={\left(3\sqrt{2}\right)}^2-2=16>0$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=-3\sqrt{2}+4,x_2=-3\sqrt{2}-4$.

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: ${\Delta }^{\prime }=2m+6>0$ hay $m>-3.$

Theo định lí Viète ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=6\\ x_1.x_2=-2m+3\end{array}$

Theo bài, $x_1^2+x_2^2=20$

${\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=20$

$6^2-2\cdot \left(-2m+3\right)=20$

$4m=-10$

$m=\frac{-5}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy $m=\frac{-5}{2}$.

Diện tích phần giấy của chiếc quạt là: $S=\frac{\pi .{\left(2,2\right)}^2-\pi {\left(2,2-1,6\right)}^2}{2}\approx 7$ (dm²).

Chứng minh được $$\widehat{AHC}=\widehat{AKC}=90^{\circ }$$

$\Delta AHC$ vuông tại $H$ nên ba điểm $A,H,C$ thuộc đường tròn đường kính $AC$.

$\Delta AKC$ vuông tại $K$ nên ba điểm $A,K,C$ thuộc đường tròn đường kính $AC$.

Vậy bốn điểm $A,H,K,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AC$ nên $AHKC$là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có $\widehat{DCB}=\widehat{DAB}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BD)$ và $\widehat{KCH}=\widehat{KAH}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung $KH)$

Suy ra $\widehat{KCH}=\widehat{DCB}$.

Xét $\Delta AIH$ và $\Delta ABD$ có:

$\widehat{AHI}=\widehat{ADB}=90^{\circ }$ ($\widehat{ADB}=90^{\circ }$ vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat{BAD}$ là góc chung

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{AI}{AB}=\frac{AH}{AD}$ nên $AI.AD=AH.AB$.

c) Kéo dài $$CP$$cắt $$AB$$tại $$M$$.

Xét $$\Delta ACM$$có hai đường cao $$AK$$và $$CH$$cắt nhau tại $$I$$nên $$I$$ là trực tâm $$\Delta ACM$$. Suy ra $$MI\perp AC$$.

Xét nửa đường tròn $\left(O\right)$ có $$\widehat{ACB}=90^{\circ }$$( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) nên $$BC\perp AC$$. Do đó $$MI//BC$$.

Xét $$\Delta CHB$$có$$I\in CH$$, $$M\in HB$$mà $$MI//BC$$suy ra $\frac{HI}{HC}=\frac{HM}{HB}$ ( 1)

Xét $\Delta HDB$có$P\in HD$, $M\in HB$mà $MP//DB$( vì cùng vuông góc với $AD$) suy ra $\frac{HP}{HD}=\frac{HM}{HB}$ (2)

Suy ra $\frac{HP}{HD}=\frac{HI}{HC}$ nên $IP//CD$.

Chiếc hộp tạo thành là một hình hộp có đáy là hình vuông cạnh $12-2x$ (cm) và chiều cao là $x$ cm. Thể tích của hộp là $V={\left(12-2x\right)}^{2}x$ $(0<x<6)$

Ta có: ${\left(12-2x\right)}^{2}x=\frac{1}{4}\left(12-2x\right)\left(12-2x\right)4x$.

⦁ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với 3 số không âm.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta được

$\left(12-2x\right)\left(12-2x\right)4x\le {\left(\frac{12-2x+12-2x+4x}{3}\right)}^3$

Do đó $V\le \frac{1}{4}\cdot 8^3=128$

Dấu “=” xảy ra khi $12-2x=4x$

Khi đó $x=2$ (thỏa mãn điều kiện).