Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Einstein School (Hồ Chí Minh) có đáp án

a) Bảng giá trị của hàm số:

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, lấy các điểm $A\left(-2;-4\right),$ $B\left(-1;-1\right),$ $O\left(0;0\right),$ $C\left(1;-1\right),$ $D\left(2;-4\right).$

Đồ thị của hàm số $\left(P\right):y=-x^2$ là một đường parabol đỉnh $O,$ đi qua các điểm trên và có dạng như hình sau:

b) Giả sử $M\left(x_0;y_0\right)$ là điểm thuộc $$\left(P\right)$$ có hoành độ và tung độ là những số đối nhau. Khi đó, $y_0=-x_0.$

Do đó $M\left(x_0;-x_0\right)$ thuộc $$\left(P\right)$$: $\left(P\right):y=-x^2$ nên ta có:

$-x_0=-x_0^2$

$x_0^2-x_0=0$

$x_0\left(x_0-1\right)=0$

$x_0=0$ hoặc $x_0=1$.

Với $x_0=0$ ta có $y_0=0,$ ta được điểm $O\left(0;0\right).$

Với $x_0=1$ ta có $y_0=-1,$ ta được điểm $C\left(1;-1\right).$

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài là $O\left(0;0\right)$ và $C\left(1;-1\right).$

a) Phương trình $3x^2-8x+2=0$ có $${\Delta }^{\prime }={\left(-4\right)}^2-3\cdot 2=10>0$$.

Vậy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo định lí Viète, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{8}{3}\\ x_1{x}_2=\frac{2}{3}\end{array}$.

Ta có: $A=x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2={\left(\frac{8}{3}\right)}^2-2\cdot \frac{2}{3}=\frac{64}{9}-\frac{4}{3}=\frac{52}{9}.$

a) ${\left(x-2\right)}^2=\left(x-2\right)\left(3x+5\right)$

$x^2-4x+4=3x^2+5x-6x-10$

$-2x^2-3x+14=0$

Phương trình trên có

$$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 14=121>0.$$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$$x_1=\frac{3+11}{2\cdot \left(-2\right)}=-\frac{7}{2};x_2=\frac{3-11}{2\cdot \left(-2\right)}=2.$$

b) $x^2-13x+40=0$

Phương trình trên có

$$\Delta ={\left(-13\right)}^2-4\cdot 1\cdot 40=9>0.$$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$$x_1=\frac{13+3}{2\cdot 1}=8;x_2=\frac{13-3}{2\cdot 1}=5.$$

a) Chiều dài phần hồ nước dùng để nuôi cá là: $10-2x$ (m).

Chiều rộng phần hồ nước dùng để nuôi cá là: $$7-2x$$ (m).

Diện tích phần hồ nước nuôi cá là: $\left(10-2x\right)\left(7-2x\right)=70-34x+4x^2$ (m2).

b) Diện tích hồ nước là: $$10\cdot 7=70$$ (m2).

Diện tích phần trồng sen là: $70-\left(70-34x+4x^2\right)=34x-4x^2$ (m2).

Theo bài, ta có phương trình:

$34x-4x^2=\frac{3}{7}\cdot 70$

$34x-4x^2=30$

$4x^2-34x+30=0$

$2x^2-17x+15=0$

Phương trình trên có $\Delta ={\left(-17\right)}^2-4\cdot 2\cdot 15=169>0.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{17-13}{2\cdot 2}=1$ (thỏa mãn); $x_2=\frac{17+13}{2\cdot 2}=7,5$ (không thỏa mãn).

Vậy chiều dài, chiều rộng của phần nuôi cá lần lượt là 8 m; 5 m.

a) Thay $m=3$ (kg) và $E_k=18\mathrm{J}$ vào công thức $E_k=\frac{m{v}^2}{2}$, ta được:

$18=\frac{3\cdot v^2}{2}$, suy ra $v^2=12,$ do đó $v=2\sqrt{3}$ (m/s) (do $v>0).$

b) Thay $m=3$ (kg) và $v=6$ (m/s) vào công thức $E_k=\frac{m{v}^2}{2}$, ta được:

$E_k=\frac{3\cdot 6^2}{2}=54$ (J).

Gọi $x$ (cuốn) là số sách ở ngăn thứ nhất $\left(x>0\right)$.

Khi đó, số sách ở ngăn thứ hai là $400-x$ (cuốn).

Nếu chuyển 80 cuốn sách từ ngăn thứ nhất sang ngăn thứ hai thì số sách ở ngăn thứ nhất là $x-80$ (cuốn), số sách ở ngăn thứ hai là $400-x+80=480-x$ (cuốn).

Theo bài, ta có phương trình:

$480-x=3\left(x-80\right)$

$480-x=3x-240$

$720=4x$

$x=180$ (thỏa mãn).

Vậy ngăn thứ nhất và ngăn thứ hai ban đầu lần lượt là 180 (cuốn), 220 (cuốn).

a) Xét đường tròn $\left(O\right)$ có ai tiếp tuyến $AB,AC$ cắt nhau tại $A$ nên $AB=AC$, do đó điểm $A$ thuộc đường trung trực của $BC.$

Lại có $OB=OC=R$ nên điểm $O$ thuộc đường trung trực của $BC.$

Do đó, $AO$ là đường trung trực của $BC.$ Vậy $OA$ vuông góc với $BC$ tại $H$.

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta AOB$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{ABO}=90^{\circ }$ và $\widehat{BAO}$ là góc chung

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{AB}{AO}=\frac{AH}{AB}$ hay $A{B}^2=AH.AO$.

b) Gọi $$K$$ là giao điểm của $$OE$$ và $$AD$$.

Xét $$\Delta OAK$$ và $$\Delta OEH$$ có:

$$\widehat{AKO}=\widehat{EHO}=90^{\circ }$$ và $$\widehat{AOE}$$ là góc chung

Do đó (g.g).

Suy ra $$\frac{OK}{OH}=\frac{OA}{OE}$$ nên $$OH\cdot OA=OK\cdot OE$$.

Chứng minh tương tự câu a, ta có suy ra $$\frac{OH}{OB}=\frac{OB}{OA}$$ nên $$O{B}^2=OH\cdot OA$$.

Do đó $$O{B}^2=OK\cdot OE.$$ Mà $$OB=OD$$ nên $$O{D}^2=OK\cdot OE.$$ Suy ra $\frac{OK}{OD}=\frac{OD}{OE}$.

Xét $$\Delta OKD$$ và $$\Delta ODE$$ có:

$$\widehat{DOE}$$ là góc chung và $\frac{OK}{OD}=\frac{OD}{OE}$

Do đó (c.g.c). Suy ra $$\widehat{OKD}=\widehat{ODE}$$.

Như vậy, $$\widehat{ODE}=90^{\circ }$$ nên $DE$ là tiếp tuyến của $\left(O\right)$.

c) Xét $$\Delta OAB$$ vuông tại $$B,$$ ta có:

⦁ $$\cos \widehat{AOB}=\frac{OB}{OA}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.$$ Suy ra $$\widehat{AOB}=60^{\circ }.$$

⦁ $$A{B}^2=A{O}^2-O{B}^2=10^2-5^2=75$$, suy ra $$AB=5\sqrt{3}$$ (cm).

Xét đường tròn $\left(O\right)$ có ai tiếp tuyến $AB,AC$ cắt nhau tại $A$ nên $OA$ là tia phân giác của $$\widehat{BOC}$$.

Do đó $$\widehat{BOC}=2\widehat{AOB}=120^{\circ }$$ nên

Ta có (cm2);

$$S_{tgABOC}=2S_{\Delta OAB}=2\cdot \frac{1}{2}AB\cdot OB=2\cdot \frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{3}\cdot 5=25\sqrt{3}$$ (cm2).

Vậy phần diện tích mặt phẳng giới hạn bởi $AB,AC$ và cung nhỏ $BC$ của $\left(O;R\right)$ là:

$$S_{tgABOC}-S_{BOC}=25\sqrt{3}-\frac{5\pi }{3}\approx 38,1$$ (cm2).