Đề thi giữa kì 2 Toán 7 Trường THCS Giảng Võ (Hà Nội) năm 2022-2023 có đáp án

a) Gọi vận tốc của xe tải, xe khách và xe ô tô con lần lượt là: $x,y,z$ $\left(km/h\right)$$\left(x,y,z>0\right)$

Vì trên cùng một quãng đường nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có:

$$4x=3y=2z\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}$$

Lại có: vận tốc xe con lớn hơn xe khách $20km/h$, nên ta có: $$z-y=20$$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}=\frac{z-y}{6-4}=\frac{20}{2}=10$

Do đó:

$$\frac{x}{3}=10\Rightarrow x=10.3=30$$

$$\frac{y}{4}=10\Rightarrow y=10.4=40$$

$$\frac{z}{6}=10\Rightarrow z=10.6=60$$

Suy ra $$x=30;y=40;z=60$$ (TMĐK)

Vậy vận tốc của xe tải, xe khách và xe con lần lượt là $30km/h;40km/h;60km/h.$

b) Quãng đường AB dài là: $30.4=120\left(\mathrm{km}\right)$.

GT	$\Delta ABC$ cân tại $$A$$, $$H\in BC,HB=HC$$, $$HD//AC$$ , $D\in AB,$
KL	a) $\Delta ABH=\Delta ACH$,$AH$là tia phân giác $\widehat{BAC}$ b) $\Delta ADH$là tam giác cân c) $CD<\frac{AC+BC}{2}$

 

a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ACH$có:

 (gt); $$AB=AC$$ (gt); $$AH$$ chung

Do đó: $\Delta ABH=\Delta ACH$ (c.c.c)

Suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (hai góc tương tứng) hay $AH$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$.

b) Vì $$HD//AC$$ nên $\widehat{DHA}=\widehat{CAH}$ (cặp góc so le trong)

Mà $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$$$HB=HC$$

$\Rightarrow \widehat{DHA}=\widehat{BAH}=\widehat{DAH}$, suy ra $\Delta ADH$ là tam giác cân tại D.

c) Trên tia đối tia $HD$ lấy điểm $E$ sao cho $HE=HD$

Xét $\Delta CHE$ và $\Delta BHD$có:

$$HB=HC$$ (gt)

$\widehat{CHE}=\widehat{BHD}$ (đối đỉnh)

$$EH=DH$$ (cách dựng)

Do đó $\Delta CHE=\Delta BHD$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{ECH}=\widehat{DBH}$ (hai góc tương ứng, $CE//BD$)

Mà hai góc nằm ở vị trí so le trong nên hay $CE//AD$

Xét $\Delta CDE$ và $\Delta DCA$ có:

$$\widehat{ACD}=\widehat{EDC}$$ (2 góc so le trong, do $$HD//AC$$)

$CD$ chung

$$\widehat{ECD}=\widehat{ADC}$$ (2 góc so le trong, do $CE//AD$)

Do đó: $\Delta CDE=\Delta DCA$ (g.c.g)

Suy ra $AC=DE$ (hai cạnh tương ứng)

Ta có $HD=\frac{1}{2}ED=\frac{1}{2}AC;HC=\frac{1}{2}CB$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho $\Delta CDH$ ta có:

$CD<HD+HC<\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC<\frac{AC+BC}{2}$ (đpcm)

Với $a,b,c$ là các số khác 0 thỏa mãn $-a+2b+2c\ne 0;$$2a-b+2c\ne 0;$$2a+2b-c\ne 0$, ta có:

$\frac{a}{-a+2b+2c}=\frac{b}{2a-b+2c}=\frac{c}{2a+2b-c}$

$\frac{-a+2b+2c}{a}=\frac{2a-b+2c}{b}=\frac{2a+2b-c}{c}$

$\frac{-a+2b+2c}{a}+3=\frac{2a-b+2c}{b}+3=\frac{2a+2b-c}{c}+3$

$\frac{2a+2b+2c}{a}=\frac{2a+2b+2c}{b}=\frac{2a+2b+2c}{c}$

$\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}$                                           $$\left(1\right)$$

• Nếu $a+b+c\ne 0$, từ (1) suy ra $a=b=c$

Khi đó: $P=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)$

 $=\left(1+\frac{a}{a}\right)\left(1+\frac{c}{c}\right)\left(1+\frac{b}{b}\right)$

   $=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8$

• Nếu $a+b+c=0$ suy ra $\{\begin{array}{l}a+b=-c\\ b+c=-a\\ a+c=-b\end{array}$

Khi đó: $P=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)$

$=\frac{a+b}{a}\cdot \frac{c+a}{c}\cdot \frac{b+c}{b}$

$=\frac{-c}{a}\cdot \frac{-b}{c}\cdot \frac{-a}{b}=-1$

Vậy $P=\left(\begin{array}{c}8\text{ khi }a+b+c\ne 0\\ -1\text{ khi }a+b+c=0\end{array}\right)$