Đề thi giữa kì 2 Toán 7 năm 2024-2025 THCS Thượng Cát (Hà Nội) có đáp án

Vì khối lượng mỗi bánh chưng bằng nhau, tỉ lệ gạo và các nguyên liệu khác ở mỗi bánh là như nhau nên khối lượng gạo nếp và số lượng bánh gói được là hai đại lượng tỉ lệ thuận

Xét có $\frac{4}{12}=\frac{6}{18}\left(=\frac{1}{3}\right)$ đúng với tính chất hai đại lượng tỉ lỉ thuận nên khẳng định là đúng.

a) Ta có: $\frac{x}{15}=\frac{-2}{3}$

Suy ra $x=\frac{15\cdot (-2)}{3}=-10$

Vậy $x=-10$.

b) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

$\frac{x}{7}=\frac{y}{5}=\frac{x-y}{7-5}=\frac{6}{2}=3$

Suy ra $x=3\cdot 7=21;y=3\cdot 5=15.$

Vậy $x=21;y=15.$

c) Ta có: $$\frac{x}{y}=\frac{6}{5}$$ nên $$\frac{x}{6}=\frac{y}{5}$$ .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\frac{x}{6}=\frac{y}{5}=\frac{2x}{12}=\frac{3y}{15}=\frac{2x-3y}{12-15}=\frac{-33}{-3}=11$

Khi đó $$x=6\cdot 11=66$$; $y=5\cdot 11=55$.

Vậy $$x=66$$; $y=55$.

Gọi số học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh lần lượt là $a$, $b$, $c$ (học sinh).

Điều kiện: $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $a,b,c<60.$

Theo đề bài, tổng số học sinh là $60$học sinh nên có: $a+b+c=60$       ($1$)

Số học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, Ngữ Văn và Tiếng Anh tỉ lệ thuận với $11$, $10$, $9$

Ta có: $\frac{a}{11}=\frac{b}{10}=\frac{c}{9}=k$ nên $a=11k;b=10k;c=9k$

Thay vào phương trình ($1$), ta được:

$11k+10k+9k=60$

$30k=60$

$k=2$

Khi đó $a=11.2=22$ (thỏa mãn)

$b=10.2=20$ (thỏa mãn)

$c=9.2=18$ (thỏa mãn)

Vậy số học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, Ngữ Văn và Tiếng Anh lần lượt là $22;20;18$ học sinh.

a) Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $AB=AC$.

Vì $AH$ là trung tuyến của tam giác $ABC$nên $HB=HC$

 Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$có:

Cạnh $AH$ chung; $AB=AC$; $HB=HC$

 Do đó$\Delta AHB=\Delta AHC$ (c. c. c)

b) Xét $\Delta DBI$ và $\Delta HBI$ có:

$BD=BH$ (giả thiết)

$$\widehat{DBI}=\widehat{HBI}=90^{\circ }$$ ($BI$ vuông góc với $BC$ tại $B$)

$BI$ là cạnh chung

 Do đó $\Delta DBI=\Delta HBI$ (c.g.c)

 Suy ra $\widehat{BDI}=\widehat{BHI}$ (hai góc tương ứng)

$\widehat{BID}=\widehat{BIH}$ (hai góc tương ứng)

$DI=HI$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $$\Delta DBI$$ và $$\Delta HBI$$ có:

$$IB$$ cạnh chung; $$\widehat{IBH}=\widehat{IBD}=90^{\circ }$$; $$BH=BD\left(gt\right)$$

Do đó $\Delta DBI=\Delta HBI\left(\mathrm{c}.g.c\right)$

Ta có: $$DB=BH=HC$$.

Mà $$\Delta IBD$$ vuông tại $$B$$ nên $$DI>DB$$ suy ra $$DI>HC$$.

c) Ta có $\Delta DBI=\Delta HBI\left(cmt\right)\Rightarrow \widehat{IHB}=\widehat{IDB}$ (2 góc tương ứng)

Mà $$\widehat{AHI}+\widehat{IHD}=90^{\circ }$$; $$\widehat{IDH}+\widehat{IAH}=90^{\circ }$$ nên $$\widehat{IAH}=\widehat{AHI}$$.

Suy ra $$\Delta AHI$$ cân tại $$I$$ nên $$IA=IH$$.

Mặt khác $ID=IH$ (2 cạnh tương ứng) nên $$IA=ID$$.

Suy ra $$HI$$ là trung tuyến của $$\Delta AHD$$.

Xét $$\Delta AHD$$ có: $$AB,HI,DE$$ là 3 đường trung tuyến.

Có $$G$$ là giao của $AB$ và $HI$ hay $$G$$ là trọng tâm $$\Delta AHD$$.

 Suy ra $D,$$$G,$$$$E$$ thẳng hàng.

a)  $$3$$ thành phố $A,B,C$ không cùng nằm trên một đường thẳng nên $3$ điểm $A,B,C$ tạo thành một tam giác $\Delta ABC$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: $BC>\left|AB-AC\right|=\left|90-30\right|=60.$

Khoảng cách từ thành phố $C$ đến thành phố $B$ là $BC>60$ km nên thành phố B nằm ngoài bán kính hoạt động của máy phát sóng đặt tại thành phố $C$.

Vậy thành phố $B$ không nhận được tín hiệu.

b)  Ta có $b>0,d>0$và $$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$$$$\Rightarrow ad<bc\Rightarrow ad-bc<0$$.

Xét $\frac{a}{b}-\frac{ab+cd}{b^2+d^2}=\frac{a\left(b^2+d^2\right)-b\left(ab+cd\right)}{b\left(b^2+d^2\right)}=\frac{a{d}^2-bcd}{b\left(b^2+d^2\right)}=\frac{d\left(ad-bc\right)}{b\left(b^2+d^2\right)}$

Vì $b,d>0$, $ad-bc<0$ (cmt), $b^2+d^2>0$ với mọi $b,d>0$.

Khi đó $\frac{a}{b}-\frac{ab+cd}{b^2+d^2}=\frac{d(ad-bc)}{b\left(b^2+d^2\right)}<0$ suy ra $\frac{a}{b}<\frac{ab+cd}{b^2+d^2}$.

Xét $\frac{ab+cd}{b^2+d^2}-\frac{c}{d}=\frac{\left(ab+cd\right)d-c\left(b^2+d^2\right)}{d\left(b^2+d^2\right)}=\frac{abd-b^{2}c}{d\left(b^2+d^2\right)}=\frac{b\left(ad-bc\right)}{d\left(b^2+d^2\right)}$

Vì $b,d>0$, $ad-bc<0$ (cmt), $b^2+d^2>0$ với mọi $b,d>0$.

Khi đó $\frac{ab+cd}{b^2+d^2}-\frac{c}{d}=\frac{b\left(ad-bc\right)}{d\left(b^2+d^2\right)}<0$ suy ra $\frac{ab+cd}{b^2+d^2}<\frac{c}{d}$.

Vậy $\frac{a}{b}<\frac{ab+cd}{b^2+d^2}<\frac{c}{d}$ khi $b>0,d>0$và $$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$$.