Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2025-2026 THCS Nguyễn Trường Tộ (Hà Nội) có đáp án

a) $5\left(3x-1\right)=\left(2x+3\right)\left(3x-1\right)$

$\begin{array}{l}\left(3x-1\right)\left[5-\left(2x+3\right)\right]=0\\ \left(3x-1\right)\left(2-2x\right)=0\end{array}$

$3x-1=0$ hoặc $2-2x=0$

$x=\frac{1}{3}$ hoặc $x=1.$

Vậy phương trình có nghiệm là $$x\in \left\{\frac{1}{3};1\right\}$$

b) $\frac{3x-1}{x-2}-\frac{2x-3}{x+2}+\frac{7x-2}{4-x^2}=0$ (ĐK: $x\ne 2,x\ne -2).$

$$\frac{\left(3x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{\left(2x-3\right)\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{7x-2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=0$$

$\left(3x-1\right)\left(x+2\right)-\left(2x-3\right)\left(x-2\right)-\left(7x-2\right)=0$

$3x^2+6x-x-2-\left(2x^2-4x-3x+6\right)-7x+2=0$

$x^2+5x-6=0$

$\left(x+6\right)\left(x-1\right)=0$

$x+6=0$ hoặc $x-1=0$

$x=-6$ (thỏa mãn) hoặc $x=1$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x\in \left\{-6;1\right\}.$

c) $\frac{2x-11}{-7}<\frac{3x+5}{11}$

$\begin{array}{l}11\left(2x-11\right)>-7\left(3x+5\right)\\ 22x-121>-21x-35\end{array}$

$\begin{array}{l}43x>86\\ x>2.\end{array}$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $x>2.$

a) Hệ: $\{\begin{array}{l}7x-2y=13\left(1\right)\\ 3x+5y=29\left(2\right)\end{array}$

Nhân (1) với 5, ta được $35x-10y=65.$

Nhân (2) với 2, ta được $6x+10y=58.$

Cộng hai phương trình: $41x=123$ suy ra $x=3.$

Thế vào $3x+5y=29$, ta được $3\cdot 3+5y=29$ suy ra $5y=20$ nên $y=4.$

Kết luận: $\left(x,y\right)=\left(3,4\right).$

b) Hệ: $\{\begin{array}{l}\left(x-4\right)\left(2y+1\right)=\left(2x+5\right)\left(y-2\right)\\ \left(x+4\right)\left(2y-1\right)=2xy+4x+5y-3\end{array}$

Xét phương trình (1):

$\left(x-4\right)\left(2y+1\right)=2xy+x-8y-4$

$\left(2x+5\right)\left(y-2\right)=2xy-4x+5y-10$

$\begin{array}{l}2xy+x-8y-4-\left(2xy-4x+5y-10\right)=0\\ 5x-13y+6=0\\ 5x-13y=-6.\end{array}$

Xét phương trình (2):

$\left(x+4\right)\left(2y-1\right)=2xy-x+8y-4$

$\begin{array}{l}2xy-x+8y-4-\left(2xy+4x+5y-3\right)=0\\ -5x+3y-1=0\\ 5x-3y=-1.\end{array}$

Hệ phương trìn ban đầu trở thành $\{\begin{array}{l}5x-13y=-6\\ 5x-3y=-1\end{array}$

Cộng từng vế theo vế của hai phương trình trên, ta được:

$\begin{array}{l}\left(-13y\right)-\left(-3y\right)=-5\\ -10y=-5\\ y=\frac{1}{2}.\end{array}$

 Thay $y=\frac{1}{2}$ vào $5x-3y=-1$ ta được

$\begin{array}{l}5x-3\cdot \frac{1}{2}=-1\\ 5x-\frac{3}{2}=-1\\ 5x=\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{10}.\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left(x;y\right)=\left(\frac{1}{10};\frac{1}{2}\right).$

Gọi $x$ (triệu đồng) là giá niêm yết máy hút ẩm, $y$ (triệu đồng) là giá niêm yết quạt cây $\left(x,y>0\right)$

• Tổng giá niêm yết là $20$ triệu: $x+y=20$

• Mức giảm giá: máy hút ẩm giảm $20\%x=0,2x$, quạt giảm $15\%y=0,15y$.

Tổng tiền giảm là $3,62$ triệu: $0,2x+0,15y=3,62$

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{ll}x+y=20& (1)\\ 0,2x+0,15y=3,62& (2)\end{array}$  

Nhân $(2)$ với $100$, ta được $20x+15y=362$.

Nhân $(1)$ với $20$, ta được: $20x+20y=400$.

Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất theo vế, ta được:

$5y=38$ suy ra $y=7,6$.

Thế vào (1), ta được: $x=20-7,6=12,4.$

Kết luận: Giá niêm yết máy hút ẩm $12,4$ triệu, quạt cây $7,6$ triệu.

Gọi $x$ (chi tiết/ngày) là số chi tiết dự định làm mỗi ngày theo kế hoạch, $t$ (ngày) là thời gian theo kế hoạch.

• Theo kế hoạch: $xt=600$ (1)

• Thực tế: mỗi ngày hơn $25$ chi tiết nên mỗi ngày làm được $x+25$ (chi tiết/ngày) và hoàn thành sớm $4$ ngày nên thời gian là $t-4$ (ngày); sản lượng vẫn là 600 sản phẩn nên ta có số sản phẩm là $\left(x+25\right)\left(t-4\right)=600$

Vậy ta có hệ phương trình  $\{\begin{array}{l}xt=600\\ \left(x+25\right)\left(t-4\right)=600\end{array}$

Xét phương trình thứ hai:

$xt-4x+25t-100=600$

$\begin{array}{lc}600-4x+25t-100=600& \\ -4x+25t-100=0& \\ 25t=4x+100& \left(3\right)\end{array}$

Từ (1) ta có  $t=\frac{600}{x}$.

Thế vào (3) ta được:

$25\cdot \frac{600}{x}=4x+100$

$\frac{15000}{x}=4x+100$

$15000=4x^2+100x$

$x^2+25x-3750=0.$

$\left(x-50\right)\left(x+75\right)=0$.

Suy ra $x=50$ (vì $x+75>0)$.

Khi đó $t=\frac{600}{x}=12$.

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày làm $50$ chi tiết, thời gian $12$ ngày.

1. a) Xét tam giác $$\Delta ABC$$ vuông tại $$A$$ có:

⦁ $$\tan \widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}$$, suy ra $$AC=AB.\tan \widehat{ABC}=5\cdot \tan 64^{\circ }\approx 10,25$$ (cm).

⦁ $$\cos \widehat{ABC}=\frac{AB}{BC},$$ suy ra $$BC=\frac{AB}{\cos \widehat{ABC}}=\frac{5}{\cos 64^{\circ }}\approx 11,41$$ (cm).

b) Ta có $$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AH.BC$$ nên $$AB.AC=AH.BC$$

$$\Delta ABC$$ vuông tại $$A$$ có: $$\sin \widehat{ABC}=\frac{AH}{AB}$$

Suy ra $$AH=AB.\sin \widehat{ABC}=5.\sin 64^{\circ }\approx 4,49$$ (cm).

$$\Delta AHD$$ vuông tại $$D$$ có:

$$\cos \widehat{HAD}=\frac{AD}{AH}$$, suy ra $$AD=AH.\cos \widehat{HAD}\approx 4,04$$ (cm).

$$\sin \widehat{HAD}=\frac{HD}{AH}$$, suy ra $$HD=AH.\sin \widehat{HAD}\approx 1,97$$ (cm).

Suy ra: $BD =AB–AD=5–\mathrm{4,04}=\mathrm{0,96}$ (cm).

$$CE=AC-AE=AC-HD=10,25-1,97=8,28$$ (cm).

c) Diện tích tứ giác $$BDEC$$ là

$$S_{BDEC}=S_{\Delta ABC}-S_{\Delta ADE}$$

$$=\frac{1}{2}AB.AC-\frac{1}{2}AD.AE$$

$$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}(AB.AC-AD.AE)\\ =\frac{1}{2}.(5.10,25-4,04.1,97)\\ =21,65\end{array}$$

Vậy diện tích của tứ giác $$BDEC$$ là $$21,65$$ (cm2).

2. Ta có $$AB\perp AC$$, $$HE\perp AC$$ suy ra $$AB//HE$$ nên: $$\widehat{ABH}=\widehat{ECH}$$ .

Xét $$\Delta HAB$$ và $$\Delta ECH$$ có:

$$\widehat{AHB}=\widehat{HEC}=90^{\circ }$$ và $$\widehat{ABH}=\widehat{ECH}$$

Do đó $\Delta HAB\backsim \Delta ECH$ (g.g).

Xét $$\Delta AHB$$ và $$\Delta ABC$$ có:

$$\widehat{ADH}=\widehat{BAC}=90^{\circ }$$ và $$\widehat{HAD}=\hat{C}$$.

Do đó $\Delta DAH\backsim \Delta ACB$ (g.g).

Suy ra $\frac{DA}{AC}=\frac{DH}{AB}=\frac{AH}{BC}$.

Khi đó $$\frac{S_{\Delta DAH}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{\frac{1}{2}DA\cdot DH}{\frac{1}{2}AB\cdot AC}=\left(\frac{DA}{AC}\right)\cdot \left(\frac{DH}{AB}\right)=\left(\frac{AH}{BC}\right)\cdot \left(\frac{AH}{BC}\right)={\left(\frac{AH}{BC}\right)}^2$$ $$(1)$$

Trong $$\Delta AHB$$ vuông tại $$H,$$ có $$\sin B=\frac{AH}{AB}$$

          $$\Delta ABC$$ vuông tại $$A,$$ có $$\sin C=\frac{AB}{BC}$$;

Suy ra $$\frac{AH}{AB}.\frac{AB}{BC}=\sin B.\sin C$$

$$\frac{AH}{BC}=\sin B.\sin C$$

$${\left(\frac{AH}{BC}\right)}^2={\sin }^{2}B.{\sin }^{2}C$$ $$(2)$$

Từ $$(1)$$ và $$(2)$$ ta có $$\frac{S_{\Delta DAH}}{S_{\Delta ABC}}={\sin }^{2}B.{\sin }^{2}C$$ hay $$S_{\Delta DAH}=S_{\Delta ABC}.{\sin }^{2}B.{\sin }^{2}C$$

Suy ra $$S_{\Delta DAH}=S_{\Delta ABC}\cdot \left(1-c\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{2}B\right)\cdot {\sin }^{2}C$$.

3. Vì $J$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $EC$ nên $JE=JC$ (3)

Do tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật nên $I$ là trung điểm $AH$ nên $I$ là trung điểm của $DE$

Mà $$DE\perp IJ$$ nên $IJ$ là đường trung trực của đoạn thẳng $EC$, suy ra $JE=JD$ (4)

Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm $BD$ và $EC$.

Gọi $O$ là giao điểm của các đường trung trực của $BD$ và $EC$.

Khi đó $OE=OC;OB=OD$.

Ta có: $$AE.AC=\left(AQ-QE\right)\left(AQ+QE\right)$$

$\begin{array}{l}AE.AC=A{Q}^2-Q{E}^2\\ =\left(A{Q}^2+O{Q}^2\right)-\left(O{Q}^2-Q{E}^2\right)\\ =0A^2-O{E}^2\end{array}$

Tương tự, ta có: $$AD.AB=O{A}^2-O{D}^2$$

Mà $$AE.AC=AD.AB$$, nên $$O{A}^2-O{E}^2=O{A}^2-O{D}^2$$.

Suy ra $OE=OD$

Vậy $$OE=OC=OB=OD.$$

Mặt khác, $J$ là đường trung trực của $DE$ và $EC$ mà điểm $O$ nằm trên giao điểm các đường trung trực $DE$ và $EC$ nên $O$ và $J$ |trùng nhau.

Vậy điểm $J$ cách đều các điểm $B,D,E$ và $C$.

Gọi số xe loại thứ nhất và thứ hai lần lượt là $x,y$ (xe, $x\in \mathbb{N},y\in \mathbb{N}$ )

Khi đó, tổng số tấn hàng được chở là: $15x+10y$ (tấn)

Do công ty phải chở 76 tấn hàng nên: $15x+10y\ge 76$.

Do $x\in \mathbb{N},y\in \mathbb{N}$ và $\left(15x+10y\right)⋮5$ nên $15x+10y\ge 80$.

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $15x+10y=80$ hay $3x+2y=16$

Từ đó, ta có các trường hợp:

TH1: $\{\begin{array}{c}x=0\\ y=8\end{array}$ thì chi phí cần trả là: $0.13+8.9=72$ (triệu đồng).

TH2: $\{\begin{array}{c}x=2\\ y=5\end{array}$ thì chi phí cần trả là: $2.13+5.9=71$ (triệu đồng).

TH3: $\{\begin{array}{c}x=4\\ y=2\end{array}$ thì chi phí cần trả là: $4.13+2.9=70$ (triệu đồng).

Vậy cho phí thấp nhất là: 70 (triệu đồng)