Đề thi Cuối kì 2 Toán 8 trường THCS Đống Đa (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án - Đề 2

Gọi x (giờ) là thời gian người thứ hai đi đến khi gặp người thứ nhất $$\left(x>0\right)$$

Quãng đường người thứ hai đã đi đến khi gặp người thứ nhất là 56x (km)

Thời gian người thứ nhất đi đến khi gặp người thứ hai là $$x+1$$ (giờ).

Quãng đường người thứ nhất đã đi đến khi gặp người thứ hai là $$42\left(x+1\right)$$(km)

Quãng đường hai người đi bằng nhau nên ta có phương trình

$$56x=42\left(x+1\right)$$

$$56x=42x+42$$

$$14x=42$$

$$x=3$$ (TMĐK)

Vậy hai người gặp nhau lúc $$7+1+3=11$$ (giờ).

Điểm gặp nhau cách A là $$56\cdot 3=168(\mathrm{km}).$$

a) Tính giá trị của A khi x = 3.

Với $$x=3$$ (TMĐK) thì $A=\frac{4\cdot 3}{10\cdot 3-5}=\frac{12}{25}.$

 b) Thực hiện phép tính $$B:A.$$

$$B:A=\left(\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x+1}\right):\frac{4x}{10x-5}$$

$$=\frac{{\left(2x+1\right)}^2-{\left(2x-1\right)}^2}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}:\frac{4x}{5\left(2x-1\right)}$$

$$=\frac{\left(2x+1-2x+1\right)\left(2x+1+2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

 $$=\frac{2.4x}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\cdot \frac{5\left(2x-1\right)}{4x}$$$$=\frac{10}{2x+1}$$.

1) Theo đề bài, cây và cột cùng vuông góc hay $AB\perp AC;KD\perp DE$

Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{KDE}=90^{\circ }.$

Xét $$\Delta ABC$$ và $$\Delta DKE$$ có:

$\widehat{BAC}=\widehat{KDE}=90^{\circ }$ (cmt); $\widehat{BCA}=\widehat{DEK}$ (gt)

Do đó  (g.g)

Suy ra $\frac{AB}{KD}=\frac{AC}{DE}$, thay số ta có $\frac{AB}{2}=\frac{10,5}{1,5}$ nên $AB=\frac{2\cdot 10,5}{1,5}=14(\mathrm{m})$.

Vậy chiều cao của cây là 14 mét.

Cho tam giác ABC nhọn có $$\widehat{BAC}=65^{\circ }$$, AK và BH là các đường cao (K thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh AC).

a) Chứng minh và $$CH\cdot CA=CK\cdot CB.$$ 

b) Chứng minh và tính số đo của góc CKH.

c) Kẻ đường phân giác của góc ACB cắt KH tại D và cắt $$AB$$ tại I. Chứng minh rằng: $$DH\cdot IA=DK\cdot IB.$$

 a) Chứng minh  (g.g)

Suy ra $$\frac{CK}{CH}=\frac{CA}{CB}$$, do đó $$CK\cdot CB=CH\cdot CA$$.

 b) Ta có $$CK\cdot CB=CH\cdot CA$$ (câu a) suy ra $\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CA}$.

Chứng minh  (c.g.c).

Suy ra $\widehat{CKH}=\widehat{BAC}=65^{\circ }$.

 c) Áp dụng tính chất đường phân giác trong $\Delta CHK$, ta có

$\frac{DK}{DH}=\frac{CK}{CH}$ và $\frac{IA}{IB}=\frac{AC}{CB}$.

Mà $\frac{CK}{CH}=\frac{CA}{CB}$ (câu a) suy ra $\frac{DK}{DH}=\frac{IA}{IB}.$ Do đó $$DH\cdot IA=DK\cdot IB.$$