Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 trường THCS Lương Thế Vinh (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án

9 câu · Đề cuối kì 1

5/9 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 4 câu còn lại.

Câu 1

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM

Ghi lại chữ cái đứng trước đáp án đúng vào bài làm.

Kết quả của phép tính $2 x^{2} y + 3 x y^{2} - (2 x y^{2} - 3 x^{2} y)$ là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 2

Khẳng định nào sau đây đúng?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 3

Khẳng định sai là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 4

Cho hình thang cân $A B C D (A B // C D)$ có $A - C = 2 0^{\circ} .$ Số đo $A$ và $C$ lần lượt là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 5

Câu tự luận

PHẦN II. TỰ LUẬN

a) Thu gọn và tìm bậc của đơn thức $A = 2 x y^{2} \cdot (- \frac{7}{2} x^{4} y) .$

b) Cho đa thức $B = 2 x y + 4 x^{3} y - 5 y^{2} - 4.$ Tìm đa thức $C$ sao cho $B + C = 4 x^{3} y - 4 y^{2} + 3.$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

a) $A = 2 x y^{2} \cdot (\frac{- 7}{2} x^{4} y) = - 7 x^{5} y^{3}$

Bậc của đơn thức $A$ là: 8.

b) Ta có $B + C = 4 x^{3} y - 4 y^{2} + 3.$

Suy ra $C = 4 x^{3} y - 4 y^{2} + 3 - B$

$= 4 x^{3} y - 4 y^{2} + 3 - (2 x y + 4 x^{3} y - 5 y^{2} - 4)$

$= 4 x^{3} y - 4 y^{2} + 3 - 2 x y - 4 x^{3} y + 5 y^{2} + 4$

$= y^{2} - 2 x y + 7.$

Vậy $C = y^{2} - 2 x y + 7.$

Câu 6

Câu tự luận

Tìm $x,$ biết:

a) $6 x (3 - x) + 6 x^{2} - 15 x = 18.$

b) $4 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) - x (4 x^{2} - 3 x) = 6 x + 108.$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

a) $6 x (3 - x) + 6 x^{2} - 15 x = 18$

$18 x - 6 x^{2} + 6 x^{2} - 15 x = 18$

$3 x = 18$

$x = 6$

Vậy $x = 6.$

b) $4 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) - x (4 x^{2} - 3 x) = 6 x + 108$

$4 (x^{3} + 3^{3}) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) = 6 x + 108$

$4 x^{3} + 108 - 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 108 = 0$

$3 x^{2} - 6 x = 0$
$3 x (x - 2) = 0$

$3 x = 0$ hoặc $x - 2 = 0$

$x = 0$ hoặc $x = 2.$

Vậy $x \in {0; 2} .$

Câu 7

Câu tự luận

a) Tính giá trị của biểu thức $D = x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 12$ biết $∣ x - 1 ∣ = 2.$

b) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến $x$ và $y :$

$E = (2 x - y)^{2} + (3 x + y)^{2} + 2 (2 x - y) (3 x + y) - 25 (1 + x) (x - 1) .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $∣ x - 1 ∣ = 2$

$x - 1 = 2$ hoặc $x - 1 = - 2$

$x = 3$ hoặc $x = - 1.$

⦁ Thay $x = 3$ vào biểu thức $D,$ ta được:

$D = 3^{3} - 3 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 + 12 = 27 - 27 - 24 + 12 = - 12.$

⦁ Thay $x = - 1$ vào biểu thức $D,$ ta được:

$D = (- 1)^{3} - 3 \cdot (- 1)^{2} - 8 \cdot (- 1) + 12 = - 1 - 3 + 8 + 12 = 16.$

b) $E = (2 x - y)^{2} + (3 x + y)^{2} + 2 (2 x - y) (3 x + y) - 25 (1 + x) (x - 1) .$

$= [(2 x - y)^{2} + 2 \cdot (2 x - y) \cdot (3 x + y) + (3 x + y)^{2}] - 25 (x + 1) (x - 1)$

$= (2 x - y + 3 x + y)^{2} - 25 (x^{2} - 1)$

$= (5 x)^{2} - 25 x^{2} + 25$

$= 25 x^{2} - 25 x^{2} + 25 = 25.$

Vậy giá trị của biểu thức $E$ không phụ thuộc vào giá trị của biến $x$ và $y .$

Câu 8

Câu tự luận

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ $(A B < A C),$ có $I$ là trung điểm của cạnh $A C .$ Qua $C$ kẻ đường thẳng song song với đường thẳng $A B,$ đường thẳng này cắt tia $B I$ tại $D .$

a) Chứng minh $Δ A B I = Δ C D I$ và suy ra tứ giác $A B C D$ là hình bình hành.

b) Qua $I$ kẻ đường thẳng $I K // A B (K \in B C) .$ Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $K$ xuống cạnh $A B .$ Chứng minh $A K = I H .$

c) Gọi $G$ là giao điểm của $A K$ và $B D .$ Chứng minh ba điểm $H, G, C$ thẳng hàng.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có I là trung điểm của cạnh AC. Qua C kẻ đường thẳng song song với đường thẳng AB, đường thẳng này cắt tia BI tại D (ảnh 1)

a) Xét $Δ A B I$ và $Δ C D I$ có:

$B I A = D I C$ (đối đỉnh);

$I A = I C$ (do $I$ là trung điểm của cạnh $A C);$

B A C = D C A

(cặp góc so le trong do

A B // C D) .

Do đó $Δ A B I = Δ C D I$ (g.c.g).

Suy ra $A B = C D$ (hai cạnh tương ứng).

Xét tứ giác $A B C D$ có $A B // C D$ và $A B = C D$ nên là hình bình hành.

b) Cách 1: Vì $A C ⊥ A B$ (do $Δ A B C$ vuông tại $A)$ và $K H ⊥ A B$ nên $H K // A I .$

Xét tứ giác $A I K H$ có $H K // A I$ và $I K // A H$ nên là hình bình hành.

Lại có $H A I = 9 0^{\circ}$ nên $A I K H$ là hình chữ nhật.

Suy ra $A K = I H$ (tính chất hình chữ nhật).

Cách 2: Vì $I K // A B$ mà $A B ⊥ A C$ nên $I K ⊥ A C,$ hay $A I K = 9 0^{\circ} .$

Xét tứ giác $A I K H$ có $A H K = A I K = H A I = 9 0^{\circ}$ nên là hình chữ nhật.

Suy ra $A K = I H$ (tính chất hình chữ nhật).

c) Vì $A I K H$ là hình chữ nhật nên $A I = H K$ và $A H = I K$ (tính chất hình chữ nhật).

Mà $A I = I C$ nên $H K = I C .$

Xét tứ giác $I H K C$ có $H K // I C$ và $H K = I C$ nên là hình bình hành.

Do đó $H I = K C$ và $H I // K C$ (tính chất hình bình hành).

Xét tứ giác $H I K B$ có $H I // B K$ và $B H // I K$ nên là hình bình hành.

Do đó $H I = B K$ và $H B = I K$ (tính chất hình bình hành).

Ta có $B K = H I$ và $H I = K C$ nên $B K = K C,$ hay $K$ là trung điểm của $B C .$

$A H = I K$ và $H B = I K$ nên $A H = H B,$ hay $H$ là trung điểm của $A B .$

Khi đó $Δ A B C$ có hai đường trung tuyến $A K$ và $B I$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của tam giác, do đó đường trung tuyến $C H$ đi qua $G,$ nên ba điểm $H, G, C$ thẳng hàng.

Câu 9

Câu tự luận

Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + x y - 3 x - 3 y + 3 = 0.$ Chứng minh biểu thức $P = (3 x + 2 y - 6)^{1010} + (x - y + 1)^{1011} + 2021$ có giá trị là một số nguyên.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

Ta có: $x^{2} + y^{2} + x y - 3 x - 3 y + 3 = 0$

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 4 x y - 12 x - 12 y + 12 = 0$

$4 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot (y - 3) + (y - 3)^{2} + 3 y^{2} - 6 y + 3 = 0$

$(2 x + y - 3)^{2} + 3 (y - 1)^{2} = 0$

Với mọi $x, y$ ta có $(2 x + y - 3)^{2} \geq 0; (y - 1)^{2} \geq 0$ nên $(2 x + y - 3)^{2} + 3 (y - 1)^{2} \geq 0.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $(2 x + y - 3)^{2} = 0; (y - 1)^{2} = 0$ hay $x = y = 1.$

Thay $x = y = 1$ vào biểu thức $P,$ ta được:

$P = (3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 6)^{1010} + (1 - 1 + 1)^{1011} + 2021 = (- 1)^{1010} + 1^{1011} + 2021 = 2 023.$

Vậy biểu thức $P$ có giá trị là một số nguyên.