Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 trường THCS Cầu Giấy (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án

9 câu · Đề cuối kì 1

5/9 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 4 câu còn lại.

Câu 1

I. TRẮC NGHIỆM

Điều kiện để giá trị của phân thức $\frac{x + 5}{( x - 2 ) ( x + 3 )}$ xác định là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 2

Giá trị của biểu thức $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ tại $x = 101$ bằng:

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 3

Kết quả rút gọn biểu thức $(x - 2 y) (x^{2} + 2 x y + 4 y^{2}) - (x + 2 y) (x^{2} - 2 x y + 4 y^{2})$ là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 4

Cho các khẳng định sau:

1. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

2. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.

3. Trong hình chữ nhật, giao của hai đường chéo cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật.

4. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình chữ nhật.

Số các khẳng định đúng là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 5

Câu tự luận

II. TỰ LUẬN

Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $2 x^{2} y - 4 x y + 2 y$

b) $x^{2} - 9 + 4 y^{2} - 4 x y$

c) $x^{2} - 9 x + 20$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

a) $2 x^{2} y - 4 x y + 2 y$

$= 2 y (x^{2} - 2 x + 1)$

$= 2 y (x - 1)^{2}$ .

b) $x^{2} - 9 + 4 y^{2} - 4 x y$

$= (x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}) - 9$

$= (x - 2 y)^{2} - 3^{2}$

$= (x - 2 y + 3) (x - 2 y - 3)$ .

c) $x^{2} - 9 x + 20$

$= x^{2} - 4 x - 5 x + 20$

$= x (x - 4) - 5 (x - 4)$

$= (x - 4) (x - 5)$ .

Câu 6

Câu tự luận

Tìm $x$ , biết:

a) $4 x (x - 3) + 6 (3 - x) = 0$

b) $x^{3} - x (x - 1) (x + 1) = 14$

c) $(x^{2} - x)^{2} + 2 (x^{2} - x) = 8$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) $4 x (x - 3) + 6 (3 - x) = 0$

$(x - 3) (4 x - 6) = 0$

b) $x^{3} - x (x - 1) (x + 1) = 14$

$x^{3} - x (x^{2} - 1) = 14$

Trường hợp 1:

$x - 3 = 0$

$x = 3$ .

Vậy $x \in {3; \frac{3}{2}}$ .

Trường hợp 2:

$4 x - 6 = 0$

$4 x = 6$

$x = \frac{3}{2}$ .

$x^{3} - x^{3} + x = 14$

$x = 14$

Vậy $x = 14$ .

c) $(x^{2} - x)^{2} + 2 (x^{2} - x) = 8$

$(x^{2} - x)^{2} + 2 (x^{2} - x) - 8 = 0$

$(x^{2} - x)^{2} + 2 (x^{2} - x) + 1 - 9 = 0$

$[(x^{2} - x) + 1]^{2} - 3^{2} = 0$

$(x^{2} - x + 1 + 3) (x^{2} - x + 1 - 3) = 0$

$(x^{2} - x + 4) (x^{2} - x - 2) = 0$

$[(x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{15}{4}] . (x^{2} + x - 2 x - 2) = 0$

Suy ra $x^{2} + x - 2 x - 2 = 0$ (Vì $(x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{15}{4} > 0$ )

$x (x + 1) - 2 (x + 1) = 0$

$(x + 1) (x - 2) = 0$

Suy ra $x + 1 = 0$ hoặc $x - 2 = 0$

Do đó $x = - 1$ hoặc $x = 2.$

Vậy $x \in {- 1; 2}$ .

Câu 7

Câu tự luận

Cho hai biểu thức $A = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ và $B = \frac{x + 2}{x + 1} + \frac{3}{x + 3} - \frac{6 x + 8}{x ^{2} + 4 x + 3}$ với $x \neq = - 1; x \neq = - 3$ .

a) Tính giá trị của $A$ khi $x = 4$ .

b) Chứng minh rằng $B = \frac{x + 1}{x + 3}$ .

c) Đặt $P = A . B$ , tìm tất cả các giá trị nguyên âm của $x$ để $P$ nhận giá trị là số nguyên.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Thay $x = 4$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$ ta có: $A = \frac{2.4 + 3}{4 + 1} = \frac{11}{5}$ .

Vậy $A = \frac{11}{5}$ khi $x = 4$ .

b) Với điều kiện $x \neq = - 1; x \neq = - 3$ , biểu thức $B$ được biến đổi như sau:

$B = \frac{x + 2}{x + 1} + \frac{3}{x + 3} - \frac{6 x + 8}{x ^{2} + 4 x + 3}$

$B = \frac{x + 2}{x + 1} + \frac{3}{x + 3} - \frac{6 x + 8}{( x + 1 ) ( x + 3 )}$

$B = \frac{( x + 2 ) ( x + 3 )}{( x + 1 ) ( x + 3 )} + \frac{3 ( x + 1 )}{( x + 1 ) ( x + 3 )} - \frac{6 x + 8}{( x + 1 ) ( x + 3 )}$

$B = \frac{x ^{2} + 5 x + 6 + 3 x + 3 - 6 x - 8}{( x + 1 ) ( x + 3 )}$

$B = \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{( x + 1 ) ( x + 3 )}$

$B = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{( x + 1 ) ( x + 3 )} = \frac{x + 1}{x + 3}$ .

c) $P = A . B = \frac{2 x + 3}{x + 1} . \frac{x + 1}{x + 3} = \frac{2 x + 3}{x + 3} = \frac{2 x + 3}{x + 3} = 2 - \frac{3}{x + 3} .$

Để $P$ nhận giá trị nguyên khi $\frac{3}{x + 3} \in Z$ tức là $x + 3 \in$ Ư $(3) = {\pm 1; \pm 3}$

Ta có bảng sau:

$x + 3$	$1$	$- 1$	$3$	$- 3$
$x$	$- 2$	$- 4$	$0$	$- 6$
Kết hợp ĐK	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Loại	Thỏa mãn

Vậy $x \in {- 2; - 4; - 6}$ .

Câu 8

Câu tự luận

1) Một chiếc xuồng máy qua sông từ vị trí

B

hướng tới vị trí

A .

Tuy nhiên do nước chảy nên khi qua tới bờ, thuyền tới vị trí

C

cách

A

một khoảng là

22 m .

Trong suốt quá trình qua sông, vận tốc chuyển động của xuồng là

v = 2 m/s

. Biết độ dài quãng đường xuồng đi được cho bởi hàm số

s = v t

, với

t

là thời gian. Tính khoảng cách AB giữa hai bờ sông biết rằng để đi từ B tới C thì xuồng mất khoảng thời gian là

61

giây.

Một chiếc xuồng máy qua sông từ vị trí B hướng tới vị trí A. Tuy nhiên do nước chảy nên khi qua tới bờ, thuyền tới vị trí C cách A một khoảng là 22m (ảnh 1)

2) Cho hình vuông $A B C D$ lấy $M$ trên đường chéo $A C (A M > M C)$ . Kẻ $M I$ vuông góc với $A D (I \in A D)$ . Gọi $P, N$ lần lượt là điểm đối xứng của $M$ và $A$ qua $I$ .

a) Tứ giác $A M N P$ là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh $B M = P D$ .

c) Gọi $Q$ là giao điểm của $B M$ và $P D$ . Chứng minh ba điểm $C, Q, N$ thẳng hàng.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

1) Ta có: $B C = 2.61 = 122 (m)$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $A B C$ vuông tại $A,$ ta có

$A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 12 2^{2} - 2 2^{2} = (122 + 22) (122 - 22) = 144 \cdot 100 = 14400$

Do đó $A B = 14400 = 120 (m)$ .

Một chiếc xuồng máy qua sông từ vị trí B hướng tới vị trí A. Tuy nhiên do nước chảy nên khi qua tới bờ, thuyền tới vị trí C cách A một khoảng là 22m (ảnh 2)

a) Theo giả thiết, $P, N$ lần lượt là điểm đối xứng của $M$ và $A$ qua $I$ nên $I$ là trung điểm của $A N, M P$

Suy ra tứ giác $A M N P$ là hình bình hành (dhnb).

Do $M P ⊥ A N$ nên $A M N P$ là hình thoi.

Xét tam giác $A I M$ có $A I M = 9 0^{\circ}$ , $I A M = 4 5^{\circ}$ (do $A B C D$ là hình vuông)

Nên $Δ A I M$ vuông cân tại $I$ nên $A I = I M$ . Do đó $A N = M P$ .

Hình thoi $A M N P$ có $A N = M P$ nên $A M N P$ là hình vuông.

b) Xét $Δ A P D$ và $Δ A M D$ , ta có:

$A D$ là cạnh chung;

$P A D = M A D (P A D = P A N = 4 5^{\circ} = M A N = M A D);$

$A P = A M$ (do $A M N P$ là hình vuông).

Vậy $Δ A P D = Δ A M D$ (c.g.c)

Suy ra $P D = M D$ (3)

Xét $Δ A B M$ và $Δ A D M$ , ta có:

$A M$ là cạnh chung;

$B A M = D A M (B A M = B A C = 4 5^{\circ} = D A C = D A M);$

$A B = A D$ (do $A B C D$ là hình vuông).

Vậy $Δ A B M = Δ A D M$ (c.g.c).

Suy ra $B M = M D$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $B M = P D .$

Một chiếc xuồng máy qua sông từ vị trí B hướng tới vị trí A. Tuy nhiên do nước chảy nên khi qua tới bờ, thuyền tới vị trí C cách A một khoảng là 22m (ảnh 3)

Xét tứ giác $A P QM$ , ta có: $M QP = 360 - M A P - A P Q - A M Q$

Mà $A P Q = A M D = A M B$

Nên $M QP = 36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - (A M B + A M Q) = 36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ .

Ta có $I$ là giao 2 đường chéo hình vuông $A M N P$ , $O$ là giao điểm của 2 đường chéo hình vuông $A B C D$ .

Ta có: $I Q = \frac{1}{2} P M = \frac{1}{2} A N$ nên $A QN = 9 0^{\circ}, O Q = \frac{1}{2} B D = \frac{1}{2} A C .$

Do đó $A QC = 9 0^{\circ}$ .

Vậy $A QN + A QC = 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ nên $C, Q, N$ thẳng hàng.

Câu 9

Câu tự luận

a) Cho các số thực dương $x, y$ thỏa mãn $x < y$ và $3 x^{2} + 2 y^{2} = 5 x y$ . Tính giá trị của biểu thức $S = \frac{y + 2 x}{y - 2 x}$ .

b) Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn điều kiện $2 x^{2} + x y + 3 y^{2} = 41$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M = 7 x^{2} - 13 x y + y^{2}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Từ $3 x^{2} + 2 y^{2} = 5 x y$ ta có

$3 x^{2} + 2 y^{2} - 5 x y = 0$

$3 x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} - 2 x y = 0$

$3 x (x - y) + 2 y (y - x) = 0$

$(x - y) (3 x - 2 y) = 0$

Suy ra $3 x = 2 y$ (vì $x < y$ nên $x - y \neq = 0)$

Hay $y = 1, 5 x$

Ta có $S = \frac{y + 2 x}{y - 2 x} = \frac{1 , 5 x + 2 x}{1 , 5 x - 2 x} = \frac{3 , 5 x}{- 0 , 5 x} = - 7.$

Vậy $S = - 7.$

b) Ta có $\frac{M}{41} = \frac{7 x ^{2} - 13 x y + y ^{2}}{2 x ^{2} + x y + 3 y ^{2}}$ .

Nếu $y = 0$ thì $x^{2} = \frac{41}{2}$ . Do đó $M = \frac{287}{2}$ .

Nếu $y \neq = 0$ thì $P = \frac{M}{41} = \frac{7 t ^{2} - 13 t + 1}{2 t ^{2} + t + 3}$ với $t = \frac{x}{y}$ .

Ta được

Suy ra $(2 P - 7) t^{2} + (P + 13) t + 3 P - 1 = 0$ .

Phương trình trên có nghiệm nên $(P + 13)^{2} - 4 (2 P - 7) (3 P - 1) \geq 0$

Suy ra $(P + 1) (141 - 23 P) \geq 0$

Do đó $- 1 \leq P \leq \frac{141}{23}$

Nên $- 41 \leq M \leq \frac{5781}{23}$ .

Vậy giá trị lớn nhất của $M$ là $\frac{5781}{23}$ khi $x = \frac{- 20}{23}, y = \frac{11}{23}$ .