Đề thi cuối kì 1 Toán 8 THCS Giảng Võ (Hà Nội) năm 2023-2024 (có đáp án)

1) Ta có: $A=\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)+x\left(1-x^2\right)=x^3+1+x-x^3=1+x$.

2)

a) Ta có$B=x^3+6x^2+12x+8={\left(x+2\right)}^3$

Thay $x=-102$ vào biểu thức $B$ ta được: $B={\left(-102+2\right)}^2=10000$.

Vậy $B=10000$ khi $x=-102$.

b) Ta có $C=4x^2-4xy+y^2+12x-6y+9={\left(2x-y\right)}^2+6\left(2x-y\right)+9={\left(2x-y+3\right)}^2.$

Thay $2x-y=5$ vào biểu thức $C$ ta được $C={\left(5+3\right)}^2=64$.

Vậy $C=64$ khi $2x-y=5$.

1)

a) $x^2-y^2+2x+1$$$=\left(x^2+2x+1\right)-y^2$$$$={\left(x+1\right)}^2-y^2$$$$=\left(x+1+y\right)\left(x+1-y\right).$$

b) $a^3-4a^2+4a$$=a\left(a^2-4a+4\right)$$=a{\left(a-2\right)}^2.$

2)

1) Xét $\Delta ABC$ có: $D,E$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ (gt) nên $DE$ là đường trung bình của $\Delta ABC,$ do đó $DE=\frac{BC}{2}$ (định lí).

Thay số: $21,3=\frac{BC}{2},$ suy ra $BC=21,3.2=42,6(\mathrm{cm}).$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm $$B$$ và $$C$$ là $42,6\mathrm{cm}.$

2)

a) Ta có $BH//d,CK//d$ nên $BH//CK,$ suy ra $\widehat{HBM}=\widehat{KCM}$ (hai góc so le trong).

$\Delta BHM$ và $\Delta CKM$ có:

$\widehat{HBM}=\widehat{KCM};$

$BM=CM;$

$\widehat{BMH}=\widehat{CMK}$

Do đó $\Delta BHM=\Delta CKM$ (g.c.g).

Suy ra $BH=CK$ (hai cạnh tương ứng).

b) ⦁ Ta có $GH+GK=GH+(GH+HK)=2GH+HK$                

 $=2GH+2HM=2\left(GH+HM\right)=2GM$.

⦁ Vì $\Delta BHM=\Delta CKM$ nên $HM=KM$ (hai cạnh tương ứng) suy ra $HK=2HM.$

$\Delta ABH$có $EG//BH$ nên $\frac{BE}{AE}=\frac{GH}{GA}$ (định lý Thalès) ;

$\Delta AKC$có $$CK//GF$$ nên $$\frac{CF}{AF}=\frac{GK}{GA}$$ (định lý Thalès).

Do đó $\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=\frac{GH}{GA}+\frac{GK}{GA}=\frac{GH+GK}{GA}=\frac{2GM}{GA}=\frac{GA}{GA}=1.$

c) Ta có $$\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=1$$ nên $$\frac{BE}{AE}=1-\frac{CF}{AF}$$

Mà $$\frac{BE}{AE}\cdot \frac{CF}{AF}=\frac{1}{4}$$ nên $$\left(1-\frac{CF}{AF}\right)\cdot \frac{CF}{AF}=\frac{1}{4}$$ suy ra $$\frac{CF}{AF}-{\left(\frac{CF}{AF}\right)}^2=\frac{1}{4}$$

Khi đó $${\left(\frac{CF}{AF}\right)}^2-\frac{CF}{AF}+\frac{1}{4}=0$$ hay $${\left(\frac{CF}{AF}-\frac{1}{2}\right)}^2=0$$ do đó $$\frac{CF}{AF}=\frac{1}{2}$$

Suy ra $$\frac{BE}{AE}=1-\frac{CF}{AF}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$

$\Delta ABC$ có $$\frac{BE}{AE}=\frac{CF}{AF}=\frac{1}{2}$$ nên $$EF//BC$$  hay $d//BC.$

1) Ta có:$P\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+1$

Suy ra $P\left(x+1\right)=a{\left(x+1\right)}^3+b{\left(x+1\right)}^2+c\left(x+1\right)+1$

$P\left(x+1\right)-P\left(x\right)=a\left[{\left(x+1\right)}^3-x^3\right]+b\left[{\left(x+1\right)}^2-x^2\right]+c\left[x+1-x\right]$

$=a\left[x^3+3x^2+3x+1-x^3\right]+b\left(x^2+2x+1-x^2\right)+c$

$=a\left(3x^2+3x+1\right)+b\left(2x+1\right)+c$

$=3a{x}^2+3ax+a+2bx+b+c$

$=3a{x}^2+\left(3a+2b\right)x+a+b+c$

Đồng nhất hệ số: $3a{x}^2+\left(3a+2b\right)x+a+b+c=x^2$ ta có:

$\{\begin{array}{l}3a=1\\ 3a+2b=0\\ a+b+c=0\end{array},$ suy ra $\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=\frac{-1}{2}\\ c=\frac{1}{6}\end{array}.$

Vậy $P\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}x+1.$

2) Ta có:

$A=1^2+2^2+3^2+\dots +n^2$$=P\left(2\right)-P\left(1\right)+P\left(3\right)-P\left(2\right)+.....+P\left(n+1\right)-P\left(n\right)$

$=P\left(n+1\right)-P\left(1\right)=\frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n$

$=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}$$=\frac{n\left(2n+1\right)\left(n+1\right)}{6}.$