Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 năm 2025-2026 THCS Chu Văn An (Hà Nội) có đáp án

5 câu · Đề cuối kì 1

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Cho hai biểu thức:

$A = \frac{5 x}{x + 1}$ và $B = \frac{x}{x - 1} + \frac{3}{x + 1} + \frac{6 x - 4}{1 - x ^{2}}$ với $x \neq = 1; x \neq = - 1.$

1) Tính giá trị của $A$ khi $x = 2.$

2) Rút gọn biểu thức $B .$

3) Đặt $P = A : B .$ Tìm giá trị nguyên lớn nhất của $x$ để $P$ nhận giá trị là số nguyên.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

1) Với $x = 2$ (TMĐK), thay $x = 2$ vào biểu thức $A$ , ta được:

$A = \frac{5 \cdot 2}{2 + 1} = \frac{10}{3} .$

Vậy khi $x = 2$ thì $A = \frac{10}{3} .$

2) Với $x \neq = 1; x \neq = - 1,$ ta có:

$B = \frac{x}{x - 1} + \frac{3}{x + 1} + \frac{6 x - 4}{1 - x ^{2}}$

$= \frac{x}{x - 1} + \frac{3}{x + 1} - \frac{6 x - 4}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$

$= \frac{x ( x + 1 ) + 3 ( x - 1 ) - ( 6 x - 4 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$

$= \frac{x ^{2} + x + 3 x - 3 - 6 x + 4}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$
$= \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$

$= \frac{( x - 1 ) ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x - 1}{x + 1} .$

Vậy với $x \neq = 1; x \neq = - 1$ thì $B = \frac{x - 1}{x + 1} .$

3) Ta có $P = A : B = \frac{5 x}{x + 1} : \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{5 x}{x - 1} = \frac{5 x - 5 + 5}{x - 1} = 5 + \frac{5}{x - 1} (x \neq = - 1; x \neq = 1) .$

Để $P$ nhận giá trị là số nguyên thì $5 + \frac{5}{x - 1}$ nhận giá trị là số nguyên.

Suy ra $\frac{5}{x - 1} \in Z$ nên $x - 1 \in$ Ư $(5) = {- 5; - 1; 1; 5} .$

Ta có bảng sau:

$x - 1$	$- 5$	$- 1$	1	5
$x$	$- 4$ (TM)	0 (TM)	2 (TM)	6 (TM)

Khi đó $x \in {- 4; 0; 2; 6} .$

Mà $x$ là giá trị nguyên lớn nhất nên $x = 6.$

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của $x$ để $P$ nhận giá trị là số nguyên là $x = 6.$

Hướng dẫn giải

Câu 2

Câu tự luận

Tìm $x,$ biết:

1) $3 x^{2} + 15 x = 0.$

2) $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) - x (x^{2} - 3) = 14.$

3) $x^{2} - (x + 2) (3 x - 7) = 4.$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

1) $3 x^{2} + 15 x = 0$

$3 x (x + 5) = 0$

$x = 0$ hoặc $x + 5 = 0$

$x = 0$ hoặc $x = - 5.$

Vậy

x \in {0; - 5} .

2) $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) - x (x^{2} - 3) = 14$

$x^{3} + 8 - x^{3} + 3 x = 14$

$3 x + 8 = 14$

$3 x = 6$

$x = 2.$

Vậy

x = 2.

3) $x^{2} - (x + 2) (3 x - 7) = 4$

$x^{2} - 4 - (x + 2) (3 x - 7) = 0$
$(x + 2) (x - 2) - (x + 2) (3 x - 7) = 0$

$(x + 2) (x - 2 - 3 x + 7) = 0$

$(x + 2) (- 2 x + 5) = 0$

$x + 2 = 0$ hoặc $- 2 x + 5 = 0$

$x = - 2$ hoặc $x = \frac{5}{2} .$

Vậy $x \in {- 2; \frac{5}{2}} .$

Câu 3

Câu tự luận

Một công ty thiết kế thời trang may mặc theo kế hoạch phải làm $10000$ sản phẩm cho đối tác nước ngoài trong thời gian là $x (x > 1)$ ngày. Do cải tiến kĩ thuật, công ty không những hoàn thành trước kế hoạch đề ra 1 ngày mà còn sản xuất thêm được 200 sản phẩm.

1) Viết phân thức biểu thị theo $x$ số sản phẩm công ty làm trong một ngày theo kế hoạch.

2) Viết biểu thức biểu thị theo $x$ số sản phẩm công ty làm trong một ngày theo thực tế.

3) Tính số sản phẩm mỗi ngày công ty làm nhiều hơn so với kế hoạch, với $x = 25$ (ngày).

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

1) Phân thức biểu thị số sản phẩm công ty làm trong một ngày theo kế hoạch là $\frac{10 000}{x}$ (sản phẩm).

2) Số sản phẩm làm thực tế là: $10000 + 200 = 10200$ (sản phẩm).

Thời gian làm theo thực tế là: $x - 1$ (ngày).

Phân thức biểu thị số sản phẩm công ty làm trong một ngày theo thực tế là: $\frac{10 200}{x - 1}$ (sản phẩm).

3) Số sản phẩm mỗi ngày công ty làm nhiều hơn so với kế hoạch là:

$\frac{10 200}{x - 1} - \frac{10 000}{x} = \frac{10 200 x - 10 000 ( x - 1 )}{x ( x - 1 )} = \frac{200 x + 10 000}{x ( x - 1 )}$ (sản phẩm).

Với $x = 25$ (ngày) (TMĐK), ta có số sản phẩm mỗi ngày công ty làm nhiều hơn so với kế hoạch là

$\frac{200 \cdot 25 + 10 000}{25 ( 25 - 1 )} = \frac{15 000}{25 \cdot 24} = 25$ (sản phẩm).

Vậy với $x = 25$ (ngày) thì số sản phẩm mỗi ngày công ty làm nhiều hơn so với kế hoạch là 25 sản phẩm.

Câu 4

Câu tự luận

1) Đèn cắm đất hình kim tự tháp là một loại đèn được thiết kế bắt mắt giúp không gian nhà ở trở nên trang trọng và nổi bật hơn. Phần trên của đèn được thiết kế có dạng một hình chóp tứ giác đều có đáy là

120 mm,

chiều cao của đèn cắm đất là

200 mm .

Phần dưới của đèn cắm đất dài

130 mm

(như hình vẽ minh họa). Tính thể tích phần trên của đèn cắm đất hình kim tự tháp đó.

Đèn cắm đất hình kim tự tháp là một loại đèn được thiết kế bắt mắt giúp không gian nhà ở trở nên trang trọng và nổi bật hơn. Phần trên của đèn được thiết kế có dạng một hình chóp tứ giác đều có đáy là 120 m (ảnh 1)

2) Cho $Δ A B C$ vuông tại $A, A B < A C,$ đường cao $A H .$ Lấy $M$ thuộc $B C$ sao cho $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $B M .$ Lấy $E$ thuộc tia đối của tia $H A$ sao cho $H E = A H .$

a) Tứ giác $A B E M$ là hình gì? Vì sao?

b) Gọi $N$ là giao điểm của $E M$ và $A C .$ Chứng minh $M$ là trực tâm của $Δ A E C .$

c) Lấy $F$ là trung điểm của $M C .$ Chứng minh $H F^{2} = H N^{2} + N F^{2} .$

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ (nghìn đồng) là giá thuê một phòng

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

1) Thể tích phần trên của đèn cắm đất hình kim tự tháp đó là:

$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12 0^{2} \cdot (200 - 130) = 336000 (m m^{3}) .$

Vậy thể tích phần trên của đèn cắm đất hình kim tự tháp là $336000 m m^{3} .$

2) a) Xét tứ giác $A B E M$ có:

$H E = A H$ (gt); $H B = H M$ ( $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $B M)$ .

Suy ra hai đường chéo $A E$ và $B M$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $A B E M$ là hình bình hành.

Hình bình hành $A B E M$ có $A E ⊥ B M$ (do $Δ A B C$ vuông tại $A$ )

Do đó, tứ giác $A B E M$ là hình thoi.

b) Vì $A B E M$ là hình thoi nên $E M // A B$ hay $E N // A B .$

Mà $A B ⊥ A C$ (do $Δ A B C$ vuông tại $A$ ) nên $E N ⊥ A C$

Xét $Δ A E C$ có $C H ⊥ A B; E N ⊥ A C$ mà $E N$ và $C H$ cắt nhau tại $M$ .

Do đó $M$ là trực tâm của $Δ A E C .$

c) Lấy $F$ là trung điểm của $M C .$ Chứng minh $H F^{2} = H N^{2} + N F^{2} .$

Xét $Δ M N C$ vuông tại $N$ (vì $E N ⊥ A C$ tại $N$ ) có $F$ là trung điểm của cạnh huyền $M C$ nên

$N F = \frac{1}{2} M C = F C = M F$ .

Suy ra $Δ N F C$ cân tại $F$ nên $F N C = F C N$ . (1)

Xét $Δ A E N$ vuông tại $N$ có $H$ là trung điểm của cạnh huyền $A E$ nên $H N = \frac{1}{2} A E = H A = H E .$

Suy ra $Δ A H N$ cân tại $H$ nên $H N A = H A N$ . (2)

Vì $Δ A H C$ vuông tại $H$ (cmt) nên $H A C + H C A = 9 0^{\circ}$ hay $H A N + F C N = 9 0^{\circ} .$

Từ (1) và (2) suy ra $H A N + F C N = H N A + F N C = 9 0^{\circ}$ .

Khi đó $H N F = 18 0^{\circ} - (H N A + F N C) = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ nên $Δ H N F$ vuông tại $N .$

Áp dụng định lí Pythagore vào $Δ H N F$ vuông tại $N,$ ta có: $H F^{2} = H N^{2} + N F^{2}$ (đpcm).

Câu 5

Câu tự luận

Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại mỗi phòng khách sạn cho thuê với giá 400 nghìn một ngày và toàn bộ phòng đã được cho thuê hết. Biết cứ mỗi lần khách sạn tăng giá thuê thêm 10 nghìn đồng một phòng mỗi ngày thì có thêm 1 phòng trống. Hỏi khách sạn nên tăng giá phòng lên bao nhiêu để doanh thu của khách sạn trong một ngày là lớn nhất?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ (nghìn đồng) là giá thuê một phòng của khách sạn sau khi tăng $(x > 400) .$

Khi đó, giá mỗi phòng tăng thêm là $x - 400$ (nghìn đồng).

Số phòng trống sau khi khách sạn tăng giá phòng là: $\frac{x - 400}{10}$ (phòng).

Số phòng khách sạn cho thuê được với giá $x$ (nghìn đồng) là: $50 - \frac{x - 400}{10} = 90 - \frac{x}{10}$ (phòng).

Tổng doanh thu trong một ngày của khách sạn là:

$T = x (90 - \frac{x}{10}) = \frac{- x ^{2}}{10} + 90 x$ (nghìn đồng).

Ta có $T = \frac{- x ^{2}}{10} + 90 x = \frac{1}{10} (- x^{2} + 900 x)$

$= \frac{1}{10} (- x^{2} + 900 x - 202500 + 202500)$

$= \frac{- 1}{10} (x - 450)^{2} + 20250$

Vì $(x - 450)^{2} \geq 0$ nên $\frac{- 1}{10} (x - 450)^{2} \leq 0$ , suy ra $T = \frac{- 1}{10} (x - 450)^{2} + 20250 \leq 20 250.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x - 450 = 0$ hay $x = 450.$

Vậy giá cho thuê phòng là 450 nghìn đồng một ngày thì khách sạn sẽ đạt doanh thu lớn nhất là 2050 nghìn đồng (hay $20250000$ đồng).