Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất)_ đề số 12

5 câu · Đề giữa kì 2

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Cho hai biểu thức $A = \frac{x + x^{2}}{2 - x}$ và $B = \frac{2 x}{x + 1} + \frac{3}{x - 2} - \frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} - x - 2}$

a) Tính giá trị của A khi |2x – 3| = 1.

b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B.

c) Tìm số nguyên x để P = A.B đạt giá trị lớn nhất.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) $A = \frac{x + x^{2}}{2 - x}$

Điều kiện xác định của biểu thức A là: 2 – x ≠ 0 Û x ≠ 2.

Ta có |2x – 3| = 1

Trường hợp 1: 2x – 3 ≥ 0 thì 2x – 3 = 1

Với 2x – 3 ≥ 0 Û 2x ≥ 3 Û x ≥ $\frac{3}{2}$ thì |2x – 3| = 2x – 3. Khi đó:

2x – 3 = 1 Û 2x = 4 Û x = 2 (không thõa mãn)

Trường hợp 2: 2x – 3 ≤ 0 Û 2x ≤ 3 Û x ≤ $\frac{3}{2}$ thì |2x – 3| = – 2x + 3. Khi đó:

– 2x + 3 = 1 Û 2x = 2 Û x = 1 (thõa mãn)

Thay x = 1 (TMĐK) vào $A = \frac{x + x^{2}}{2 - x}$ ta được:

$A = \frac{1 + 1^{2}}{2 - 1} = \frac{1 + 1}{1} = 2$ .

Vậy khi |2x – 3| = 1 thì A = 2.

b) Điều kiện xác định của biểu thức B:

$(\begin{matrix} x + 1 \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \\ x^{2} - x - 2 \neq 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x + 1 \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \\ x^{2} + x - 2 x - 2 \neq 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x + 1 \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \\ (x + 1) (x - 2) \neq 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x + 1 \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow (\begin{matrix} x \neq - 1 \\ x \neq 2 \end{matrix}))$

Khi đó, ta có:

$B = \frac{2 x}{x + 1} + \frac{3}{x - 2} - \frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} - x - 2} = \frac{2 x (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{3 (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{2 x^{2} + 1}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{2 x^{2} - 4 x}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{3 x + 3}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{2 x^{2} + 1}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{2 x^{2} - 4 x + 3 x + 3 - (2 x^{2} + 1)}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{2 x^{2} - 4 x + 3 x + 3 - 2 x^{2} - 1}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{2 x^{2} - 2 x^{2} - 4 x + 3 x + 3 - 1}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{- x + 2}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{- (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{- 1}{x + 1}$

Vậy

B = \frac{- 1}{x + 1}

c) Ta có P = A.B nên:

$P = \frac{x + x^{2}}{2 - x} . \frac{- 1}{x + 1} = \frac{x (x + 1)}{2 - x} . \frac{- 1}{x + 1} = \frac{- x}{2 - x} = \frac{x}{x - 2} = 1 + \frac{2}{x - 2}$

Để biểu thức $P = 1 + \frac{2}{x - 2}$ đạt giá trị lớn nhất thì $\frac{2}{x - 2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Suy ra (x – 2) đạt giá trị nhỏ nhất.

∙ Xét x – 2 < 0 hay x < 2 thì $\frac{2}{x - 2}$ < 0.

Do đó không xác định được giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này.

∙ Xét x – 2 > 0 hay x > 2 thì $\frac{2}{x - 2}$ > 0.

Ta thấy: x là số nguyên lớn hơn 2 mà (x – 2) đạt giá trị nhỏ nhất nên x = 3.

Vậy để P = A . B đạt giá trị lớn nhất thì x = 3.

Câu 2

Câu tự luận

Giải phương trình

a) $\frac{x + 1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{x - 1}{6} - 1$ ;

b) 4x² – 1 – x(2x – 1) = 0;

c) $\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x + 3} = \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - 9} + 1$ ;

d) (x² + x – 1)(x² + x + 3) = 5.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) $\frac{x + 1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{x - 1}{6} - 1$

$\Leftrightarrow \frac{2 (x + 1)}{2.3} + \frac{3.1}{3.2} = \frac{x - 1}{6} - \frac{6}{6} \Leftrightarrow \frac{2 x + 2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{x - 1}{6} - \frac{6}{6}$

Û 2x + 2 + 3 = x – 1 – 6

Û 2x + 5 = x – 7

Û 2x – x = – 7 – 5

Û x = – 12.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {–12}.

b) 4x² – 1 – x(2x – 1) = 0

Û 4x² – 1 – 2x² + x = 0

Û 4x² – 2x² + x – 1 = 0

Û 2x² + x – 1 = 0

Û 2x² + 2x – x – 1 = 0

Û 2x(x + 1) – (x + 1) = 0

Û (x + 1)(2x – 1) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x + 1 = 0 \\ 2 x - 1 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 \\ 2 x = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 \\ x = \frac{1}{2} \end{matrix}$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

S = {- 1; \frac{1}{2}}

c) $\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x + 3} = \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - 9} + 1$

Điều kiện xác định:

${\begin{matrix} x - 3 \neq 0 \\ x + 3 \neq 0 \\ x^{2} - 9 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x - 3 \neq 0 \\ x + 3 \neq 0 \\ (x - 3) (x + 3) \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x - 3 \neq 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \neq 3 \\ x \neq - 3 \end{matrix}$

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

$\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x + 3} = \frac{x^{2} + 2 x}{(x + 3) (x - 3)} + 1 \Leftrightarrow \frac{(x + 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)} + \frac{(x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{x^{2} + 2 x}{(x - 3) (x + 3)} + \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)} \Leftrightarrow \frac{{(x + 3)}^{2}}{(x - 3) (x + 3)} + \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{x^{2} + 2 x}{(x - 3) (x + 3)} + \frac{x^{2} - 9}{(x - 3) (x + 3)}$

Þ (x + 3)² + (x – 3)² = x² + 2x + x² – 9

Û x² + 6x + 9 + x² – 6x + 9 = 2x² + 2x – 9

Û 2x² + 18 = 2x² + 2x – 9

Û 2x² + 2x – 2x² = 9 + 18

Û 2x = 27

Û x = $\frac{27}{2}$ (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =

{\frac{27}{2}}

;

d) (x² + x – 1)(x² + x + 3) = 5

Đặt t = x² + x.

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

(t – 1)(t + 3) = 5

Û t² – t + 3t – 3 = 5

Û t² + 2t – 3 = 5

Û t² + 2t – 8 = 0

Û t² – 2t + 4t – 8 = 0

Û t(t – 2) + 4(t – 2) = 0

Û (t – 2)(t + 4) = 0

\Leftrightarrow [\begin{matrix} t - 2 = 0 \\ t + 4 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 2 \\ t = - 4 \end{matrix}

∙ Với t = 2, ta có: x² + x = 2

Û x² – x + 2x – 2 = 0

Û x(x – 1) + 2(x – 1) = 0

Û (x – 1)(x + 2) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x - 1 = 0 \\ x + 2 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \end{matrix}$

∙ Với t = –4, ta có: x² + x = –4

x² + x + 4 = 0

$x^{2} + x + \frac{1}{4} + \frac{15}{4} = 0 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{15}{4} = 0$

Vì ${(x + \frac{1}{2})}^{2} \geq 0$ nên ${(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{15}{4} > 0$

Do đó không có giá trị x thỏa mãn

{(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{15}{4} = 0

Câu 3

Câu tự luận

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Khi đến B người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc 40 km/h. Tính quãng đường AB biết thời gian cả đi, về và nghỉ là 5 giờ 10 phút ?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB (x > 0).

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h nên thời gian người đó từ A đến B là $\frac{x}{30}$ (h).

Người đó đi B về A với vận tốc 40 km/h nên thời gian để đi từ B về A là $\frac{x}{40}$ (h).

Thời gian người đó nghỉ là: 30 phút = $\frac{1}{2}$ h.

Đổi 5 giờ 10 phút = $\frac{31}{6}$ giờ.

Theo đề bài, tổng thời gian người đó đi, quay về và nghỉ là 5 giờ 10 phút nên ta có phương trình:

$\frac{x}{30} + \frac{x}{40} + \frac{1}{2} = \frac{31}{6} \Leftrightarrow \frac{x .4}{30.4} + \frac{x .3}{40.3} + \frac{1.60}{2.60} = \frac{31.20}{6.20} \Leftrightarrow \frac{4 x}{120} + \frac{3 x}{120} + \frac{60}{120} = \frac{620}{120}$

Û 4x + 3x + 60 = 620

Û 7x = 620 – 60

Û 7x = 560

Û x = 560 : 7

Û x = 80 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy độ dài quãng đường AB là 80 km.

Câu 4

Câu tự luận

Cho tam giác ABC có AB = 5 cm; BC = 8 cm. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 2 cm. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ở E và cắt đường thẳng qua C song song với AB ở F.

a) Tính DE.

b) BF cắt AC ở I. Tính $\frac{I F}{I B}$ .

c) Chứng minh rằng IC² = IE.IA.

d) BE cắt AF ở H. Tính

\frac{H A}{H F}

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cho tam giác ABC có AB = 5 cm; BC = 8 cm. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 2 cm. (ảnh 1)

a)Áp dụng định lý Ta-let trong ∆ABC có DE // BC, ta có:

$\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$

$\Leftrightarrow D E = \frac{A D . B C}{A B} = \frac{2.8}{5} = 3, 2$ (cm).

b) Theo đề ta có DE // BC hay DF // BC và BD // CF.

Suy ra tứ giác BDFC là hình bình hành nên ta có FC = BD.

Mà BD = AB – AD = 5 – 2 = 3 (cm).

Suy ra FC = 3 cm.

Ta có CF // AD (gt), áp dụng hệ quả của định lý Ta-let, ta có:

$\frac{I F}{I B} = \frac{F C}{A D} = \frac{3}{5}$

c) Áp dụng hệ quả của định lý Ta – let với CF // AD, ta có:

$\frac{I F}{I B} = \frac{I C}{I A}$ (1)

Áp dụng hệ quả định lý Ta – let với EF // BC, ta có:

$\frac{I F}{I B} = \frac{I E}{I C}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{I C}{I A} = \frac{I E}{I C} = \frac{I F}{I B}$ nên IC² = IE.IA.

Câu 5

Câu tự luận

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $Q = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2}}$ .

b) Tìm

a, b, c \in ℕ *

(a - \frac{1}{b}) (b - \frac{1}{c}) (c - \frac{1}{a}) \in ℕ *

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) $Q = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2}}$

Điều kiện xác định: x ≠ 0.

Ta có $Q = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2}} = 1 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ .

Đặt $y = \frac{1}{x}$ . Khi đó:

Q = 1 – 4y + y² = y²– 4y + 4 – 3

= (y – 2)² – 3 ≥ – 3.

Vậy min Q = – 3 khi y – 2 = 0

\Leftrightarrow y = \frac{1}{x} = 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}

b) Ta có:

$(a - \frac{1}{b}) (b - \frac{1}{c}) (c - \frac{1}{a}) = (\frac{a b - 1}{b}) (\frac{b c - 1}{c}) (\frac{a c - 1}{a}) = \frac{(a b - 1) (b c - 1) (a c - 1)}{a . b . c} = \frac{(a b^{2} c - a b - b c + 1) (a c - 1)}{a . b . c} = \frac{a^{2} b^{2} c^{2} - a b^{2} c - a^{2} b c + a b - a b c^{2} + b c + a c + 1}{a . b . c} = a b c - a - b - c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a . b . c} = a b c - (a + b + c) + (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + \frac{1}{a . b . c}$

Để $(a - \frac{1}{b}) (b - \frac{1}{c}) (c - \frac{1}{a}) \in ℕ *$ thì a, b, c Î $ℕ *$ và a.b.c Î Ư(1) = {1}.

Với a = b = c = 1

Ta thay vào:

$a b c - (a + b + c) + (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + \frac{1}{a . b . c} = 1.1.1 - (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + 1 = 2$

Vậy a = b = c = 1.