Đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất)_ đề 19

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ:$\left(\begin{array}{c}x-5\ne 0\\ x+5\ne 0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x\ne 5\\ x\ne -5\end{array}\right)$

1.$A=\frac{4x}{x^2-25}+\frac{3}{x+5}-\frac{2}{x-5}$

$=\frac{4x}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}+\frac{3\left(x-5\right)}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}-\frac{2\left(x+5\right)}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}$

$=\frac{4x}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}+\frac{3x-15}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}-\frac{2x+10}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}$

$=\frac{4x+3x-15-2x-10}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}=\frac{5x-25}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}$

$=\frac{5x-25}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}=\frac{5\left(x-5\right)}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}$

 $=\frac{5}{x+5}$với x ¹ ± 5

2. Với x ¹ ± 5.

Để |A| = A nên suy ra A ³ 0

$\iff \frac{5}{x+5}\ge 0\iff x+5>0$

Û x > -5

Kết hợp ĐKXĐ. Vậy với x > -5, x ¹ 5 thì |A| = A.

Hướng dẫn giải

1.

a) 9x + 12 = 3x - 6

Û 9x - 3x = -6 - 12

Û 6x = -18

Û x = -3

Vậy nghiệm của phương trình là x = -3.

b) ĐKXĐ:$\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x+1\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x\ne -1\end{array}$

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

$\frac{\left(x+3\right)x}{x\left(x+1\right)}-\frac{3x^2+4x+1}{x\left(x+1\right)}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}$

$\iff \frac{x^2+3x}{x\left(x+1\right)}-\frac{3x^2+4x+1}{x\left(x+1\right)}=\frac{x^2-1}{x\left(x+1\right)}$

$\iff \frac{x^2+3x-3x^2-4x-1}{x\left(x+1\right)}=\frac{x^2-1}{x\left(x+1\right)}$

$\iff \frac{-2x^2-x-1}{x\left(x+1\right)}=\frac{x^2-1}{x\left(x+1\right)}$

Þ -2x² - x - 1 = x² - 1

Û 3x² + x = 0

Û x(3x + 1) = 0

$\Rightarrow [\begin{array}{c}x=0\\ 3x+1=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=0\left(L\right)\\ x=\frac{-1}{3}\left(TMÐK\right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{-1}{3}.$

2.

$\frac{x+1}{12}+\frac{2-x}{3}>\frac{1}{4}$

$\iff \frac{x+1}{12}+\frac{4\left(2-x\right)}{12}>\frac{3}{12}$

$\iff \frac{x+1}{12}+\frac{8-4x}{12}>\frac{3}{12}$

$\iff \frac{x+1+8-4x}{12}>\frac{3}{12}$

$\iff \frac{9-3x}{12}>\frac{3}{12}$

Þ 9 - 3x > 3

Û 3x < 6 Û x < 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x < 2}.

Khi đó ta có biểu diễn tập nghiệm trên trục số như sau:

 

Hướng dẫn giải

Ta có 8h 30 phút = $\frac{17}{2}$  h.

Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB (x > 0)

Thời gian ô tô đi từ A đến B với với vận tốc trung bình 45 km/h là $\frac{x}{45}\left(h\right)$

Thời gian ô tô đi từ B về A với với vận tốc trung bình 40 km/h là $\frac{x}{40}\left(h\right)$

Tổng thời gian cả đi cả về của ô tô đó là 8h 30 phút hay $\frac{17}{2}$  h nên ta có phương trình:

$\frac{x}{45}+\frac{x}{40}=\frac{17}{2}$

$\frac{8x}{360}+\frac{9x}{360}=\frac{17}{2}$

$\iff \frac{17x}{360}=\frac{17}{2}$

$\iff x=\frac{17.360}{2.17}$

$\iff x=\frac{360}{2}=180$ (TMĐK)

Vậy quãng đường AB dài là 180 km.

Hướng dẫn giải

1. Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)$

Xét hai tam giác ABC và HBA có

$\left(\begin{array}{c}\widehat{AHB}=\widehat{CAB}\left(=90°\right)\\ \widehat{HBA}=\widehat{ABC}\left(\hat{B}chung\right)\end{array}\right)\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta HBA\left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{HB}{AB}=\frac{BA}{BC}\iff HB=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{6^2}{10}=\mathrm{3,6}\left(cm\right)$

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABH vuông tại H có

$AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{6^2-{\mathrm{3,6}}^2}=\mathrm{4,8}\left(cm\right)$

Vậy HB = 3,6 cm; AH = 4,8 cm.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào hai cạnh IB và IC ta thấy:

IB² + IC² ³ 2IB.IC

$\iff IB.IC\le \frac{I{B}^2+I{C}^2}{2}$

Mà áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác BIC vuông tại I nên

BC² = IB² + IC²

Thay vào (1) ta suy ra được:

$S_{BIC}\le \frac{1}{2}.\frac{I{B}^2+I{C}^2}{2}=\frac{B{C}^2}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\left(c{m}^2\right)$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi IB = IC.

Suy ra DIBC cân tại I nên tam giác IBC vuông cân tại I

$\iff \widehat{MBC}=45°$

Vậy khi điểm M thuộc AC sao cho $\widehat{MBC}=45°$  thì diện tích tam giác BIC đạt giá trị lớn nhất.

2. Xét ∆MAB và ∆MIC có:

$\left(\begin{array}{c}\widehat{MAB}=\widehat{MIC}\left(=90°\right)\\ \widehat{AMB}=\widehat{IMC}\end{array}\right)\Rightarrow \Delta MAB\backsim \Delta MIC\left(g.g\right)$ 

$\Rightarrow \frac{MA}{MI}=\frac{MB}{MC}\iff MA.MC=MB.MI$ (đpcm)

Hướng dẫn giải

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki vào biểu thức a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n ta có:

${\left(a_1+a_2+a_3+\mathrm{...}+a_n\right)}^2\le \left({a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+\mathrm{...}+{a_n}^2\right)\underset{n}{\underbrace{\left(1+1+1+\mathrm{...}+1\right)}}$

Û k² £ (a₁² + a₂² + a₃² + ... + a_n²).n

Vậy suy ra ${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+\mathrm{...}+{a_n}^2\ge \frac{k^2}{n}$  ("n Î ℕ*).