Đề thi Học kì 1 Toán 8 – Đề 2 (có đáp án)

19 câu · Đề cuối kì 1

11/19 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 8 câu còn lại.

Câu 1

Một hình thang có độ dài hai đáy là $6 c m$ và $10 c m$ . Độ dài đường trung bình của hình thang đó là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 2

Hai đường chéo cùng hình vuông có tính chất:

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 3

Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình nào sau đây?

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 4

Một hình chữ nhật có kích thước là $7 d m$ và $2 d m$ thì có diện tích là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 5

${(x - y)}^{2}$ bằng:

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 6

Phân thức $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ rút gọn bằng:

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 7

Giá trị của biểu thức $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ tại $x = - 2$

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 8

Phân thức $\frac{x - 3}{x (x - 2)}$ xác định với giá trị:

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 9

Câu tự luận

Phân thức các đa thức sau thành nhân tử.

$5 x y^{2} - 10 x y z + 5 x z^{2}$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Sử dụng Phương pháp: đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ để phân tích thành nhân tử

Cách giải:

$5 x y^{2} - 10 x y x + 5 x z^{2} = 5 x (y^{2} - 2 y z + z^{2}) = 5 x {(y - z)}^{2}$

Câu 10

Câu tự luận

Phân thức các đa thức sau thành nhân tử.

$x^{2} - 4 y^{2} + x + 2 y$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ và Phương pháp: đặt nhân tử chung.

Cách giải:

$x^{2} - 4 y^{2} + x + 2 y = (x - 2 y) (x + 2 y) + (x + 2 y) = (x + 2 y) (x - 2 y + 1)$

Câu 11

Câu tự luận

Tìm $x$ biết:

$x (x - 3) - x + 3 = 0$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Sử dụng Phương pháp: đặt nhân tử chung để biến đổi về dạng $A (x) . B (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} A (x) = 0 \\ B (x) = 0 \end{matrix}$

Cách giải:

$x (x - 3) - x + 3 = 0$

$\Leftrightarrow x (x - 3) - (x - 3) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1) (x - 3) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x - 1 = 0 \\ x - 3 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = 3 \end{matrix}$

Vậy $x = 1; x = 3.$

Câu 12

Câu tự luận

Tìm $x$ biết:

$(2 x - 1) (x - 5) - 2 x^{2} + 10 x - 25 = 0$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Nhân đa thức với đa thức rồi rút gọn vế trái đưa về dạng tìm $x$ đã biết.

Cách giải:

$(2 x - 1) (x - 5) - 2 x^{2} + 10 x - 25 = 0$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 10 x - x + 5 - 2 x^{2} + 10 x - 25 = 0$

$\Leftrightarrow - x - 20 = 0$

$\Leftrightarrow x = - 20$

Vậy $x = - 20.$

Câu 13

Câu tự luận

Cho biểu thức $A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}} (x \neq \pm 2)$

Rút gọn biểu thức $A .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Qui đồng mẫu thức rồi cộng trừ và rút gọn phân thức

Cách giải:

Cho biểu thức $A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}} (x \neq \pm 2)$

Rút gọn biểu thức

Với $x \neq \pm 2$ ta có:

$A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}}$

$= \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x^{2} + 4 x}{x^{2} - 4}$

$= \frac{(x + 1) (x + 2) + (x - 1) (x - 2) - (x^{2} + 4 x)}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 3 x + 2 - x^{2} - 4 x}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{x^{2} - 4 x + 4}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{{(x - 2)}^{2}}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{x - 2}{x + 2} .$

Vậy $A = \frac{x - 2}{x + 2}$ với $x \neq \pm 2.$

Câu 14

Câu tự luận

Cho biểu thức $A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}} (x \neq \pm 2)$

Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x = 4.$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Thay $x = 4 (t m d k)$ vào phân thức vừa thu gọn rồi tính toán

Cách giải:

Cho biểu thức $A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}} (x \neq \pm 2)$

Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x = 4.$

Thay $x = 4 (t m d k)$ vào biểu thức $A = \frac{x - 2}{x + 2}$ ta được:

$A = \frac{4 - 2}{4 + 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Vậy $A = \frac{1}{3}$ khi $x = 4.$

Câu 15

Câu tự luận

Cho biểu thức $A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}} (x \neq \pm 2)$

Tìm giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên dương.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Biến đổi $A$ về dạng $A = m + \frac{b}{B (x)}$ với $m, b \in Z .$

Từ đó để có giá trị nguyên thì

Sau đó lập luận để mang giá trị nguyên dương.

Cách giải:

Tìm giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên dương.

Ta có $A = \frac{x - 2}{x + 2}$ với $x \neq \pm 2.$

Xét $A = \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x + 2 - 4}{x + 2} = 1 - \frac{4}{x + 2}$

Để $A$ có giá trị nguyên thì $\frac{4}{x + 2}$ có giá trị nguyên

Suy ra $(x + 2) \in U (4) = (- 1; 1; - 2; 2; - 4; 4)$

Ta có bảng sau:

$x + 2$	$- 1$	1	$- 2$	2	$- 4$	4
$x$	$- 3$	$- 1$	$- 4$	0	$- 6$	2
$A$	5 (tm)	$- 3$ (ktm)	3 (tm)	(ktm)	2 (tm)	0 (ktm)

Vì $A$ có giá trị nguyên dương nên ta có $x \in (- 3; - 4; - 6) .$

Câu 16

Câu tự luận

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Chứng minh tứ giác $D E B F$ là hình bình hành.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Tứ giác có cặp đối song song và bằng nhau là hình bình hành

Cách giải:

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Media VietJack

Chứng minh tứ giác $D E B F$ là hình bình hành.

Xét hình bình hành $A B C D$ có $A B / / C D \Rightarrow B E / / D F; A E / / D F; A B = C D$ mà $E, F$ lần lượt là trung điểm của $A B, C D$ nên $A E = E B = D F = F C = \frac{A B}{2} .$

Xét tứ giác $D E B F$ có $A B / / D F; E B = D F (c m t)$ nên $D E B F$ là hình bình hành (dhnb)

Câu 17

Câu tự luận

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Chứng minh tứ giác $A E F D$ là hình thoi.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

Cách giải:

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Chứng minh tứ giác $A E F D$ là hình thoi.

Xét tứ giác $A B C D$ có $A B = 2 B C \Rightarrow A B = 2 A D \Rightarrow A D = \frac{A B}{2}$

Do đó $A E = A D = \frac{A B}{2} .$

Xét tứ giác $A E F D$ có $A E / / D F; A E = D F = \frac{A B}{2}$ (cmt) nên là hình bình hành (dhnb)

Lại có $A E = A D = \frac{A B}{2} (c m t)$ nên hình bình hành $A E F D$ là hình thoi (dhnb)

Câu 18

Câu tự luận

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Hình bình hành $A B C D$ có thêm điều kiện gì thì tứ giác $M E N F$ là hình vuông. Khi đó tính diện tích của tứ giác $M E N F$ biết $B C = 3 c m .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Tứ giác có hai cặp đối song song là hình bình hành

Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật

Cách giải:

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Gọi $M$ là giao điểm của $D E$ và $A F; N$ là giao điểm của $E C$ và $B F .$ Tứ giác $M E N F$ là hình gì? Vì sao?

Xét tứ giác $A E C F$ có $(\begin{matrix} A E / / F C \\ A E = F C (= \frac{A B}{2}) \end{matrix}) \Rightarrow A E C F$ là hình bình hành.

Suy ra $A F / / E C$ hay $E N / / M F$

Vì $E B F D$ là hình bình hành (theo câu a) nên $E D / / B F \Rightarrow E M / / F N$

Xét tứ giác $E M F N$ có $E N / / M F$ và $E M / / F N$ nên $E M F N$ là hình bình hành (dhnb)

Vì $A E F D$ là hình thoi (theo câu b) nên $A F ⊥ D E$ (tính chất)

Suy ra $E M F = 90 ° \Rightarrow$ hình bình bành $E M F N$ có 1 góc vuông nên nó là hình chữ nhật (dhnb)

Câu 19

Câu tự luận

Cho ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ và $a, b, c$ là 3 số khác 0.

Chứng minh: $\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{3}{a b c} .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp

Áp dụng hằng đẳng thức ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + a c + b c)$

và ${(a + b)}^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a^{2} + b^{2})$

Cách giải:

Ta có: ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + a c + b c)$

Mà theo đề bài ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Suy ra $2 (a b + a c + b c) = 0 \Leftrightarrow a b + a c + b c = 0$

$\Leftrightarrow a b + a c = - b c$

$\Leftrightarrow {(a b + a c)}^{3} = - b^{3} c^{3}$

$\Leftrightarrow a^{3} b^{3} + a^{3} c^{3} + 3 a^{2} b c (a b + a c) = - b^{3} c^{3}$

$\Leftrightarrow a^{3} b^{3} + a^{3} c^{3} + b^{3} c^{3} = - 3 a^{2} b c . (- b c)$

$\Leftrightarrow a^{3} b^{3} + a^{3} c^{3} + b^{3} c^{3} = 3 a^{2} b^{2} c^{2}$

Mà $a, b, c \neq 0$ nên ta có

$a^{3} b^{3} + a^{3} c^{3} + b^{3} c^{3} = 3 a^{2} b^{2} c^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a^{3} b^{3} + a^{3} c^{3} + b^{3} c^{3}}{a^{3} b^{3} c^{3}} = \frac{3 a^{2} b^{2} c^{2}}{a^{3} b^{3} c^{3}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{3}{a b c} (d p c m)$