Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 8)

Với $x>\mathrm{0,}x\ne 1$ta có:

Ta có : $x=4-2\sqrt{3}={\left(\sqrt{3}-1\right)}^2\Rightarrow \sqrt{x}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}=\sqrt{3}-1\left(tmdk\right)$

Thay $x=4-2\sqrt{3};\sqrt{x}=\sqrt{3}-1$vào biểu thức P sau khi rút gọn ta có :

$P=\frac{4-2\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1+1}=\frac{5-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}-6}{3}$

Vậy khi $x=4-2\sqrt{3}$thì  $P=\frac{5\sqrt{3}-6}{3}$

Ta có : $\{\begin{array}{c}x+2y=6\\ 2x+3y=7\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x+4y=12\\ 2x+3y=7\end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=5\\ x=-4\end{array}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left(x;y\right)=\left(-4;5\right)$

Vì x = 3 là nghiệm của phương trình nên ta có :

$\begin{array}{c}{3}^2-\left(m+3\right).3-2m^2+3m=0\iff 9-3m-9-2m^2+3m=0\\ \iff 2m^2=0\iff m=0\end{array}$

Thay m = 0 vào phương trình ban đầu $\Rightarrow x^2-3x=0\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=3\end{array}$

Vậy m = 0 và phương trình có nghiệm còn lại x = 0

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) ta được :

$x^2=\left(2m+1\right)x-2m\iff x^2-\left(2m+1\right)x+2m=0\left(1\right)$

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt $\iff \left(1\right)$có hai nghiệm phân biệt  $x_1,x_2$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \Delta >0\iff {\left(2m+1\right)}^2-8m>0\iff 4m^2-4m+1>0\\ \iff {\left(2m-1\right)}^2>0\iff m\ne \frac{1}{2}\end{array}$

Khi đó, áp dụng hệ thức Vi- et ta có : $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m+1\\ x_1{x}_2=2m\end{array}$

Ta có : $A,B\in \left(P\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}{y}_1=x_1^2\\ y_2=x_2^2\end{array}\Rightarrow A\left(x_1;x_1^2\right);B\left(x_2;x_2^2\right)$. Theo bài ra ta có :

$\begin{array}{c}{y}_1+y_2-x_1{x}_2=1\iff x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=1\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2=1\\ \iff {\left(2m+1\right)}^2-6m-1=0\iff 4m^2-2m=0\\ \iff 2m\left(2m-1\right)=0\iff [\begin{array}{c}m=0\left(tm\right)\\ m=\frac{1}{2}\left(ktm\right)\end{array}\end{array}$

Vậy m = 0

Gọi vận tốc của xe máy là $x\left(km/h\right)\left(x>0\right)$

Nên vận tốc của ô tô là $x+20\left(km/h\right)$

Quãng đường $AC:160-72=88\left(km\right)$

Thời gian xe máy đi từ A đến C là $\frac{88}{x}\left(h\right)$

Thời gian ô tô đi từ B đến C là : $\frac{72}{x+20}\left(h\right)$

Vì ô tô đi muộn hơn xe máy giờ nên thời gian ô tô đi từ B đến C ít hơn thời gian ô tô đi từ A đến C là 1 giờ, ta có phương trình :

$\begin{array}{c}\frac{88}{x}-\frac{72}{x+20}=1\iff \frac{88\left(x+20\right)-72x}{x\left(x+20\right)}=1\\ \iff x^2+20x=88x+1760-72x\iff x^2+4x-1760=0\end{array}$

Ta có : $\Delta \text{'}=2^2+1760=1764={42}^2>0$nên phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt: $[\begin{array}{c}{x}_1=\frac{-2+42}{1}=40\left(tm\right)\\ x_2=\frac{-2-42}{1}=-44\left(ktm\right)\end{array}$

Vậy vận tốc của xe máy là $40km/h$và của ô tô là $40+20=60km/h$

Ta có : $\angle BFE=90°$ (vì $EF\perp AB),\angle BHE=90°\left(BH\perp AE\right)$

$\Rightarrow 4$ điểm B, F, H, E cùng thuộc một đường tròn đường kính BBE

$\Rightarrow$Tứ giác BEHF nội tiếp (đpcm)

Ta có :

$\begin{array}{c}\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\Rightarrow \frac{1}{1+a}=2-\frac{1}{1+b}-\frac{1}{1+c}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}\\ \Rightarrow \frac{1}{1+a}=2-\frac{1}{1+b}-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\end{array}$

Áp dụng BĐT Co si ta có : $\frac{1}{1+a}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}$

Chứng minh tương tự : $\frac{1}{1+b}\ge 2\sqrt{\frac{ca}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}},\frac{1}{1+c}\ge 2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}$

Nhân vế theo vế của 3 BĐT trên ta có :

$\begin{array}{c}\frac{1}{1+a}.\frac{1}{1+b}.\frac{1}{1+c}\ge 8\sqrt{\frac{a^2{b}^2{c}^2}{{\left(1+a\right)}^2{\left(1+b\right)}^2{\left(1+c\right)}^2}}=\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\\ \iff 1\ge 8abc\iff abc\le \frac{1}{8}\left(dfcm\right)\end{array}$

Dấu $"="$xảy ra khi và chỉ khi $\left(\begin{array}{c}a=b=c\\ \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}a=b=c\\ \frac{3}{1+a}=2\end{array}\right)\iff a=b=c=\frac{1}{2}$