19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải (Đề 3)

8 câu · Đề thi Toán vào lớp 10

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Giải phương trình sau: $(2 x - 1) (x + 2) = 0$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có: $(2 x - 1) (x + 2) = 0 \Leftrightarrow (\begin{matrix} 2 x - 1 = 0 \\ x + 2 = 0 \end{matrix})$

Với $2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Với $x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = \frac{1}{2}; x = - 2$

Câu 2

Câu tự luận

Cho hai đường thẳng (d): $y = - x + m + 2$ và (d’): $y = (m^{2} - 2) x + 3$ . Tìm m để (d) và (d’) song song với nhau

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Để hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau thì: ${\begin{matrix} - 1 = m^{2} - 2 \\ m + 2 \neq 3 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m^{2} = 1 \\ m \neq 1 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m = \pm 1 \\ m \neq 1 \end{matrix} \Leftrightarrow m = - 1$

Vậy m = -1 là giá trị cần tìm.

Câu 3

Câu tự luận

Rút gọn biểu thức: $P = (\frac{x - \sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x} - 2} - \frac{x}{x - 2 \sqrt{x}}) : \frac{1 - \sqrt{x}}{2 - \sqrt{x}}$ với $x > 0; x \neq 1; x \neq 4$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có: $P = [\frac{x - \sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{x}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2)}] : \frac{1 - \sqrt{x}}{2 - \sqrt{x}} = \frac{x - \sqrt{x} + 2 - \sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} . \frac{2 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}} = \frac{2 - 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{2 (1 - \sqrt{x})}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} = - \frac{2}{\sqrt{x} + 1}$

Câu 4

Câu tự luận

Tháng đầu hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai do cải tiến kỹ thuật nên tổ I vượt mức 10% và tổ II vượt mức 12% so với tháng đầu vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1000 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi tháng đầu tổ I sản xuất được x chi tiết máy, tổ II sản xuất được y chi tiết máy.

ĐK: $x, y \in N *$ .

Theo giả thiết ta có: $x + y = 900$ (1)

Sau khi cải tiến kỹ thuật, trong tháng thứ hai:

Tổ I sản xuất được 1,1x chi tiết máy, tổ II sản xuất được 1,12y chi tiết máy

Theo giả thiết ta có: $1, 1 x + 1, 12 y = 1000$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $(\begin{matrix} x + y = 900 \\ 1, 1 x + 1, 12 y = 1000 \end{matrix})$

Giải hệ phương trình được $(\begin{matrix} x = 400 \\ y = 500 \end{matrix})$ (thỏa mãn)

Vậy trong tháng đầu tổI sản xuất được 400 chi tiết, tổ II sản xuất được 500 chi tiết.

Câu 5

Câu tự luận

Tìm m để phương trình: $x^{2} + 5 x + 3 m - 1 = 0$ (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{3} - x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} = 75$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Để PT có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ thì: $Δ = 25 - 12 m + 4 \geq 0 \Leftrightarrow 29 - 12 m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{29}{12}$

Ta có: $x_{1}^{3} - x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} = 75 \Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2}] + 3 x_{1} x_{2} - 75 = 0$ (*)

Theo định lý Vi-et ta có: $(\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 5 \\ x_{1} x_{2} = 3 m - 1 \end{matrix})$ thay vào (*) ta được

$(x_{1} - x_{2}) (26 - 3 m) + 3 (3 m - 26) = 0 \Leftrightarrow (x_{1} - x_{2} - 3) (26 - 3 m) = 0 \Leftrightarrow (\begin{matrix} m = \frac{26}{3} \\ x_{1} - x_{2} - 3 = 0 \end{matrix})$

Kết hợp với điều kiện thì m = 26/3 không thỏa mãn.

Kết hợp $x_{1} - x_{2} - 3 = 0$ với hệ thức Vi - et ta có hệ: $(\begin{matrix} x_{1} - x_{2} - 3 = 0 \\ x_{1} + x_{2} = - 5 \\ x_{1} x_{2} = 3 m - 1 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = - 4 \\ m = \frac{5}{3} (t / m) \end{matrix})$ .

Vậy m = 5/3 là giá trị cần tìm.

Câu 6

Câu tự luận

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB.

1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn

2) Chứng minh: MN² = NF.NA và MN = NH

3) Chứng minh: $\frac{H B^{2}}{H F^{2}} - \frac{E F}{M F} = 1$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp một đường tròn

Vẽ được các yếu tố để chứng minh phần (1).

Ta có $\hat{M B O} = 90^{0}, \hat{M A O} = 90^{0}$ (theo t/c của tiếp tuyến và bán kính)

Suy ra: $\hat{M A O} + \hat{M B O} = 180^{0}$ .Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh: MN² = NF. NA và MN = NH

Ta có $A E / / M O \Rightarrow \hat{A E M} = \hat{E M N} mà \hat{A E M} = \hat{M A F} \Rightarrow \hat{E M N} = \hat{M A F}$

$Δ N M F v à Δ N A M$ có: $\hat{M N A}$ chung; $\hat{E M N} = \hat{M A F}$

nên $Δ N M F$ đồng dạng với $Δ N A M$

$\Rightarrow \frac{N M}{N F} = \frac{N A}{N M} \Rightarrow N M^{2} = N F . N A (1)$

Mặt khác có: $\hat{A B F} = \hat{A E F} \Rightarrow \hat{A B F} = \hat{E M N} h a y \hat{H B F} = \hat{F M H}$

=> MFHB là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \hat{F H M} = \hat{F B M} = \hat{F A B} h a y \hat{F H N} = \hat{N A H}$

Xét $Δ N H F & Δ N A H c ó \hat{A N H} c h u n g; \hat{N H F} = \hat{N A H}$

=> $Δ N M F$ đồng dạng $Δ N A H \Rightarrow \Rightarrow \frac{N H}{N F} = \frac{N A}{N H} \Rightarrow N H^{2} = N F . N A (2)$

Từ (1) và (2) ta có NH = HM

3) Chứng minh: $\frac{H B^{2}}{H F^{2}} - \frac{EF}{M F} = 1$ .

Xét $Δ M AF$ và $Δ M E A$ có: $\hat{A M E}$ chung, $\hat{M A F} = \hat{M E A}$

suy ra $Δ M AF$ đồng dạng với $Δ M E A$

$\Rightarrow \frac{M E}{M A} = \frac{M A}{M F} = \frac{A E}{A F} \Rightarrow \frac{M E}{M F} = \frac{A E^{2}}{A F^{2}}$ (3)

Vì MFHB là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \hat{M F B} = \hat{M H B} = 90^{0} \Rightarrow \hat{B F E} = 90^{0}$ và $\hat{A F H} = \hat{A H N} = 90^{0} \Rightarrow \hat{A F E} = \hat{B F H}$

$Δ A E F$ và $Δ H B F$ có: $\hat{E F A} = \hat{B F H}; \hat{F E A} = \hat{F B A}$

suy ra $Δ A E F$ $~$ $Δ H B F$

$\Rightarrow \frac{A E}{A F} = \frac{H B}{H F} \Rightarrow \frac{A E^{2}}{A F^{2}} = \frac{H B^{2}}{H F^{2}}$ (4)

Từ (3) và (4) ta có $\frac{M E}{M F} = \frac{H B^{2}}{H F^{2}} \Leftrightarrow \frac{M F + F E}{M F} = \frac{H B^{2}}{H F^{2}} \Leftrightarrow 1 + \frac{F E}{M F} = \frac{H B^{2}}{H F^{2}} \Leftrightarrow \frac{H B^{2}}{H F^{2}} - \frac{F E}{M F} = 1$

Câu 7

Câu tự luận

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a+b+c= 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = $\frac{a + 1}{1 + b^{2}} + \frac{b + 1}{1 + c^{2}} + \frac{c + 1}{1 + a^{2}}$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Vì: $\frac{a + 1}{1 + b^{2}} = a + 1 - \frac{b^{2} (a + 1)}{1 + b^{2}}; 1 + b^{2} \geq 2 b n ê n \frac{a + 1}{1 + b^{2}} \geq a + 1 - \frac{b^{2} (a + 1)}{2 b} = a + 1 - \frac{a b + b}{2}$

Tương tự: $\frac{b + 1}{1 + c^{2}} \geq b + 1 - \frac{b c + c}{2}; \frac{c + 1}{1 + a^{2}} \geq c + 1 - \frac{c a + a}{2} \Rightarrow M \geq a + b + c + 3 - \frac{(a + b + c) + (a b + b c + c a)}{2} = 3 + \frac{3 - (a b + b c + c a)}{2}$

Chứng minh được: $3 (a b + b c + c a) \leq {(a + b + c)}^{2} = 9 a c \Rightarrow \frac{3 - (a b + b c + c a)}{2} \geq 0 \Rightarrow M \geq 3$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Giá trị nhỏ nhất của M bằng 3.

Câu 8

Câu tự luận

Giải hệ phương trình sau

${\begin{matrix} 3 x + y = 5 \\ 3 - x = y \end{matrix}$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Từ phương trình (2) thay y= 3-x vào phương trình (1) ta được: $3 x + 3 - x = 5 \Leftrightarrow x = 1$ .

Với $x = 1 \Rightarrow y = 2$ .Vậy hệ phương trình có nghiệm: ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \end{matrix}$