Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 3)

a) Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{28}+\sqrt{63}-2\sqrt{7}$

Ta có :

$\begin{array}{c}A=\sqrt{28}+\sqrt{63}-2\sqrt{7}=\sqrt{4.7}+\sqrt{9.7}-2\sqrt{7}\\ =2\sqrt{7}+3\sqrt{7}-2\sqrt{7}=3\sqrt{7}\end{array}$

Vậy $A=3\sqrt{7}$

b) Với $x>\mathrm{0,}y>0$ và $x\ne y$ ta có :

a) $\{\begin{array}{c}x-2y=5\\ 2x-y=7\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x-2y=5\\ -4x+2y=-14\end{array}\iff \{\begin{array}{c}-3x=-9\\ y=2x-7\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=3\\ y=-1\end{array}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(3;-1\right)$

b) Vẽ đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{4}{x}^2$

Ta có bảng giá trị

$\begin{array}{c}x-4-2024\\ y=-\frac{1}{4}{x}^2-4-10-1-4\end{array}$

Vậy đồ thị hàm số $\left(P\right):y=-\frac{1}{4}{x}^2$ là đường cong đi qua các điểm $\left(-4;-4\right);$ $\left(-2;-1\right);\left(0;0\right);\left(2;-1\right);\left(4;-4\right)$

Đồ thị hàm số

a) Khi m = -3 phương trình (1) trở thành $x^2+x-2=0$

Vì $a+b+c=1+1-2=0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

$\left(\begin{array}{c}x=1\\ x=\frac{c}{a}=-2\end{array}\right)$.

Vậy khi m = -3thì phương trình có tập nghiệm $S=\left(1;-2\right)$

b) Ta có : hệ số của $x^2$ là 1 $\ne 0$ nên phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn

Lại có $\Delta ={\left(m+2\right)}^2-4\left(m+1\right)=m^2+4m+4-4m-4=m^2\ge 0$(với mọi m)

Do đó phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m

c) Phương trình (1) có $\Delta ={\left(m+2\right)}^2-4\left(m+1\right)=m^2+4m+4-4m-4=m^2$ 

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì $\Delta >0\iff m\ne 0$

Khi đó, áp dụng định lý Viet ta có : $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=m+2\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}=m+1\end{array}$

Do hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông nên ta có $x_1,x_2>0$ suy ra : $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2>0\\ x_1{x}_2>0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m+2>0\\ m+1>0\end{array}\iff m>-1$

Vì $x_1,x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền $h=\frac{2}{\sqrt{5}}$ nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

a) Vì H là trung điểm của $AB\left(gt\right)\Rightarrow OH\perp AB$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)$\Rightarrow \angle OHM=90°$

Xét tứ giác $OMCH$có $\angle OHM=\angle OCM=90°\Rightarrow OMCH$là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)

b) Vì MC = MD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)$\Rightarrow M$ thuộc trung trực của CD

$OC=OD\left(=R\right)$ nên O thuộc trung trực của $CD\Rightarrow OM$ là trung trực của CCD

$\Rightarrow OM\perp CD$ tại K

Xét tam giác OMD vuông tại D có đường cao DK ta có :

$O{D}^2=OK.OM=R^2$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c) Ta có : MO là phân giác của $\angle PMQ$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$MO$ là đường cao của $\Delta PMQ\left(doPQ\perp OM\left(gt\right)\right)$

$\Rightarrow \Delta MPQ$ cân tại M (tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác)

$\Rightarrow MO$ đồng thời là trung tuyến của $\Delta MPQ\Rightarrow O$ là trung điểm của $PQ$

$\Rightarrow OP=\frac{1}{2}PQ$ . Ta có : $S_{\Delta MPQ}=\frac{1}{2}.MO.PQ=OM.OP$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OMP vuông tại O có đường cao OC ta có :

$\frac{1}{O{M}^2}+\frac{1}{O{P}^2}=\frac{1}{O{C}^2}=\frac{1}{R^2}$

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương $\frac{1}{O{M}^2}$và $\frac{1}{O{P}^2}$ ta có :

$\frac{1}{O{M}^2}+\frac{1}{O{P}^2}\ge \frac{2}{OM.OP}=\frac{2}{S_{\Delta MPQ}}\Rightarrow \frac{1}{R^2}\ge \frac{2}{S_{MPQ}}\iff S_{\Delta MPQ}\ge 2R^2$

Dấu $"="$xảy ra $\iff \{\begin{array}{c}OM=OP\\ \frac{2}{O{M}^2}=\frac{1}{R^2}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}OM=OP\\ OM=R\sqrt{2}\end{array}$

Vậy $S_{\Delta MPQ}$đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2R^2$ khi$OM=R\sqrt{2}$