Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 27)

a) Ta có : $x^2-3x=4\iff x^2-3x-4=0$

Vì $a-b+c=1+3-4=0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $\left(\begin{array}{c}x=-1\\ x=\frac{-c}{a}=4\end{array}\right)$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left(-1;4\right)$

b) Ta có :

$\{\begin{array}{c}2x-5-y=0\\ 5x+3y=18\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x-y=5\\ 5x+3y=18\end{array}\iff \{\begin{array}{c}6x-3y=15\\ 5x+3y=18\end{array}\iff \{\begin{array}{c}11x=33\\ y=2x-5\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=3\\ y=1\end{array}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình $\left(x;y\right)=\left(3;1\right)$

a) Với $a\ge 0;a\ne 9$ta có :

$\begin{array}{c}P=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+3}+\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-3}+\frac{3+7\sqrt{a}}{9-a}\\ =\frac{2\sqrt{a}.\left(\sqrt{a}-3\right)+\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}+3\right)-3-7\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-3\right)}\\ =\frac{2a-6\sqrt{a}+a+4\sqrt{a}+3-3-7\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-3\right)}=\frac{3a-9\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-3\right)}\\ =\frac{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-3\right)}{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-3\right)}=\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a}+3}\end{array}$

Vậy với $a\ge 0;a\ne 9$thì $B=\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a}+3}$

b) Thay y = 5 vào phương trình đường thẳng (d): y = -3x + 2 ta có :

$5=-3x+2\iff -3x=3\iff x=-1$

Do đó đồ thị hàm số y = ax - 4 cắt đường thẳng (d): y = -3x + 2 tại điểm A(-1; 5)

Thay x = -1, y = 5 vào hàm số y= ax - 4ta có $5=-a-4\iff a=-9$

Vậy a = -9

a) Gọi độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu : $x\left(m\right),\left(x>0\right)$

Nửa chu vi mảnh đất hình chữ nhật là : 24: 2 = 12 (m)

$\Rightarrow$ Chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là : 12 - x (m)

Khi tăng chiều dài lên 2m thì độ dài chiều dài : x + 2 (m)

Khi giảm chiều rộng đi 1m thì độ dài chiều rộng : $12-x-1=11-x\left(m\right)$

Vì khi tăng chiều dài lên 2m và giảm chiều rộng đi 1m thì diện tích mảnh đất tăng thêm $1m^2$nên ta có :

$\begin{array}{c}\left(x+2\right)\left(11-x\right)-x\left(12-x\right)=1\\ \iff 11x-x^2+22-2x-12x+x^2=1\\ \iff 3x=21\iff x=7\left(tm\right)\end{array}$

$\Rightarrow$Chiều rộng hình chữ nhật là 12 - 7 = 5 (m)

Vậy chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là 7m và 5m

b) Ta có : $x^2-2\left(m-1\right)x+m-3=0\left(1\right)$

Phương trình (1) có : $\Delta \text{'}={\left(m-1\right)}^2-m+3=m^2-3m+4={\left(m-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0$(với mọi m). Khi đó theo định lý Vi – et ta có : $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m-2\\ x_1{x}_2=m-3\end{array}$

Theo giả thiết ta có :

$\begin{array}{c}\left|x_1-x_2\right|=4\iff x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2=16\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2-16=0\\ \iff {\left(2m-2\right)}^2-4\left(m-3\right)-16=0\iff 4m^2-12m=0\\ \iff m^2-3m=0\iff [\begin{array}{c}m=0\\ m=3\end{array}\end{array}$

Vậy $m\in \left\{0;3\right\}$thỏa đề

Ta có : AE, BF là đường cao của tam giác ABC nên $AE\perp BC,BF\perp AC$

$\Rightarrow \angle AEB=\angle AFB=90°\Rightarrow ABEF$nội tiếp một đường tròn (tứ giác có hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau)

b) Gọi D là giao điểm của OC và EF

Ta có: $\{\begin{array}{c}\angle ACO+\angle CAO=180°-\angle AOC\\ \angle ACO=\angle CAO\end{array}$(do tam giác OAC cân tại O)

$\Rightarrow \angle ACO=\angle CAO=90°-\frac{1}{2}\angle AOC\left(1\right)$

Mà $\angle AOC=2\angle ABC$(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AC(2)

$\angle ABC=\angle DFC$(3) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác AABEF

Từ (1),(2),(3)ta được :

$\angle ACO=90°-\angle ABC=90°-\angle DFC$

$\Rightarrow \angle ACO+\angle DFC=90°\Rightarrow \angle FDC=90°\Rightarrow OC\perp EF\left(dfcm\right)$

Kẻ đường cao AH . Vì $\angle B,\angle C$ là các góc nhọn nên H thuộc đoạn thẳng BC

Áp dụng định lý Pytago ta có :

$\begin{array}{c}A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2;A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2\\ \Rightarrow P=2B{C}^2+2A{H}^2+B{H}^2+H{C}^2\end{array}$

Ta có : $B{C}^2+A{H}^2\ge 2BC.AH=4S_{\Delta ABC}$

$B{H}^2+C{H}^2\ge \frac{{\left(BH+CH\right)}^2}{2}=\frac{B{C}^2}{2}$

Do $S_{\Delta ABC}$ không đổi, A, B, C cố định nên P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $8S_{ABC}+\frac{B{C}^2}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $BH=CH\iff \Delta ABC$ cân tại A

ĐKXĐ: $\left(\begin{array}{c}y\ge 0\\ 2x+3\ge 0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}y\ge 0\\ x\ge \frac{-3}{2}\end{array}\right)$

Đặt $2x+3=t\left(t\ge 0\right)$ta có :

$\begin{array}{c}\sqrt{y}\left(y+1\right)-6x-9=\left(2x+4\right)\sqrt{2x+3}-3y\\ \iff \sqrt{y}\left(y+1\right)-3\left(2x+3\right)=\left(2x+4\right)\sqrt{2x+3}-3y\\ \iff \sqrt{y}\left(y+1\right)-3t=\sqrt{t}\left(t+1\right)-3y\\ \iff \sqrt{y}\left(y+1\right)-\sqrt{t}\left(t+1\right)+3y-3t=0\\ \iff y\sqrt{y}-t\sqrt{t}+\left(\sqrt{y}-\sqrt{t}\right)+3\left(y-t\right)=0\\ \iff \left(\sqrt{y}-\sqrt{t}\right)\left(y+\sqrt{yt}+t\right)+\left(\sqrt{y}-\sqrt{t}\right)+3\left(\sqrt{y}-\sqrt{t}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{t}\right)=0\\ \iff \left(\sqrt{y}-\sqrt{t}\right)\left(y+\sqrt{yt}+t+1+4\right)=0\\ \iff \left(\sqrt{y}-\sqrt{t}\right)\left(y+\sqrt{yt}+t+5\right)=0\iff y=t(do\left(y+\sqrt{yt}+t+5\right)>0)\\ \Rightarrow y=2x+3\\ M=x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)-4x^2-3=-2x^2+9x+6\\ M=-2\left(x^2-2x.\frac{9}{4}+\frac{81}{16}\right)+\frac{81}{8}+6\Rightarrow M=-2{\left(x-\frac{9}{4}\right)}^2+\frac{129}{8}\end{array}$

Vì $-2{\left(x-\frac{9}{4}\right)}^2\le 0$ nên $-2{\left(x-\frac{9}{4}\right)}^2+\frac{129}{8}\le \frac{129}{8}\iff x=\frac{9}{4};y=\frac{15}{2}$

Vậy $MaxM=\frac{129}{8}\iff \left(\begin{array}{c}x=\frac{9}{4}\\ y=\frac{15}{2}\end{array}\right)$