Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 23)

a) Thay $x=16\left(tmdk\right)\Rightarrow A=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{16}+3}=\frac{4}{4+3}=\frac{4}{7}$

Vậy khi x = 16 thì $A=\frac{4}{7}$

b) Điều kiện :$x\ge \mathrm{0,}x\ne 9$

$\begin{array}{c}A+B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3x+9}{x-9}\\ =\frac{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-3\right)+2\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}+3\right)-3x-9}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\\ =\frac{x-3\sqrt{x}+2x+6\sqrt{x}-3x-9}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{3\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{3\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{3}{\sqrt{x}+3}\left(dfcm\right)\end{array}$

a) Gọi số đồ bảo hộ y tế tổ sản xuất phải làm trong 1 ngày theo kế hoạch :$x\left(x\in \mathbb{N}*\right)$

$\Rightarrow$Thời gian theo kế hoạch tổ sản xuất làm xong 4800 bộ đồ : $\frac{4800}{x}$ (ngày)

Thực tế mỗi ngày, tổ đó làm được số bộ đồ bảo hộ y tế: x + 100 (bộ)

$\Rightarrow$Thời gian thực tế tổ sản xuất làm xong 4800 bộ đồ là $\frac{4800}{x+100}$ (ngày)

Theo đề bài, tổ sản xuất đã làm xong 4800 bộ đồ trước 8 ngày so với kế hoạch nên ta có phương trình : $\frac{4800}{x}-\frac{4800}{x+100}=8$

$\begin{array}{c}\iff 4800\left(x+100\right)-4800x=8x\left(x+100\right)\\ \iff 600\left(x+100\right)-600x=x\left(x+100\right)\\ \iff x^2+100x-60000=0\end{array}$

Phương trình $\Delta \text{'}={50}^2+60000=62500>0$ có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

$\left(\begin{array}{c}{x}_1=-50+\sqrt{62500}=200\left(tm\right)\\ x_2=-50-\sqrt{62500}=-300\left(ktm\right)\end{array}\right)$

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày tổ sản xuất phải làm 200 bộ đồ bảo hộ y tế

b) Thùng nước hình trụ có chiều cao h = 1,6 cm và bán kính đáy R = 0,5 m

Diện tích bề mặt được sơn của thùng nước : $2\pi Rh=\mathrm{2.3,14.0,5.1,6}=\mathrm{5,024}\left(m^2\right)$

Vậy diện tích bề mặt được sơn của thùng nước là $\mathrm{5,024}{m}^2$

a) ĐKXĐ: $x\ne -1$ , Đặt $\frac{1}{x+1}=t,$ hệ phương trình trở thành $\{\begin{array}{c}3t-2y=-1\\ 5t+3y=11\end{array}$

Ta có :

$\{\begin{array}{c}3t-2y=-1\\ 5t+3y=11\end{array}\iff \{\begin{array}{c}9t-6y=-3\\ 10t+6y=22\end{array}\iff \{\begin{array}{c}19t=19\\ 3t-2y=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}t=1\\ y=2\end{array}$

Với $t=1\Rightarrow \frac{1}{x+1}=1\iff x=0$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(0;2\right)$

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

$x^2=2x+m-2\iff x^2-2x-m+2=0(*)$

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2\Rightarrow$Phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

$\iff \Delta \text{'}>0\iff 1+m-2>0\iff m-1>0\iff m>1$

Khi đó, theo định lý Vi-et ta có : $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2\\ x_1{x}_1=-m+2\end{array}$. Theo giả thiết:

$\begin{array}{c}\left|x_1-x_2\right|=2\iff {\left|x_1-x_2\right|}^2=4\iff x_1^2+x_2^2-2x_1{x}_2=4\\ \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2=4\iff 4-4\left(-m+2\right)=4\iff m=2\left(tm\right)\end{array}$

Vậy m = 2

Ta có : tam giác ABC vuông tại A nên $\angle BAC=90°$

MB là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA) nên $\angle CMB=90°$ (định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn)

Xét tứ giác ACMB ta có : $\angle CAB+\angle CMB=90°+90°=180°$

$\Rightarrow ACMB$  là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180°$

Hay bốn điểm A, C, M, B cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

Ta có :

${\left(a+b\right)}^2=a^2+b^2+2ab=2+2ab\Rightarrow ab=\frac{{\left(a+b\right)}^2-2}{2}=\frac{1}{2}{\left(a+b\right)}^2-1$

Khi đó ta có: $P=3\left(a+b\right)+ab=3\left(a+b\right)+\frac{1}{2}{\left(a+b\right)}^2-1$

$P=\frac{1}{2}\left[{\left(a+b\right)}^2+6\left(a+b\right)+9\right]-\frac{11}{2}\Rightarrow P=\frac{1}{2}{\left(a+b+3\right)}^2-\frac{11}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

${\left(a+b\right)}^2\le 2\left(a^2+b^2\right)=2.2=4\Rightarrow -2\le a+b\le 2$

$\begin{array}{c}\Rightarrow -1\le a+b+3\le 5\Rightarrow -5\le \frac{1}{2}{\left(a+b+3\right)}^2-\frac{11}{2}\le 7\\ \iff P_{\min }=-5\end{array}$

Dấu $"="$xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{array}{c}{a}^2+b^2=2\\ a=b\\ a+b=-2\end{array}\iff a=b=-1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng $-5\iff a=b=-1$