Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 22)

1. Ta có $\Delta =7^2-4.10=9=3^2>0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

$\left(\begin{array}{c}{x}_1=\frac{-7+3}{2}=-2\\ x_2=\frac{-7-3}{2}=-5\end{array}\right)$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left(-5;-2\right)$

2. Ta có :

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}2\left(x-3\right)=y-1\\ 3x+4y=13\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x-y=5\\ 3x+4y=13\end{array}\iff \{\begin{array}{c}8x-4y=20\\ 3x+4y=13\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}11x=33\\ y=2x-5\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=3\\ y=1\end{array}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(3;1\right)$

a) Với $x\ge \mathrm{0,}x\ne 1$ ta có :

$\begin{array}{c}A=\frac{1}{2\sqrt{x}-2}+\frac{1}{2\sqrt{x}+2}+\frac{1}{x-1}\left(\begin{array}{c}x\ge 0\\ x\ne 1\end{array}\right)\\ =\frac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}-1+2}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}+2}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2\left(\sqrt{x}+1\right)}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{x}-1}\end{array}$

Vậy với $x\ge \mathrm{0,}x\ne 1$thì $A=\frac{1}{\sqrt{x}-1}$

b) Để $A\in \mathbb{Z}$ thì $\frac{1}{\sqrt{x}-1}\in \mathbb{Z}$ mà $x\in \mathbb{Z}$ nên $\sqrt{x}-1\in U\left(1\right)=\left(-1;1\right)$

$\begin{array}{c}th1:\sqrt{x}-1=1\iff \sqrt{x}=2\iff x=4\left(tm\right)\\ th2:\sqrt{x}-1=-1\Rightarrow \sqrt{x}=0\iff x=0\left(tm\right)\end{array}$

Vậy để $A\in \mathbb{Z}$thì $x\in \left(0;4\right)$

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là $x,y\left(m\right)\left(DK:x,y>0\right)$

Vì diện tích mảnh vườn là $680m^2$ nên ta có phương trình xy = 680 (1)

Khi tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích chiều dài mới của mảnh vườn là x + 6 (m) và chiều rộng mới của mảnh vườn y - 3(m)

Vì diện tích mảnh vườn lúc sau không đổi nên ta có phương trình :

$\left(x+6\right)\left(y-3\right)=680\left(2\right)$

Từ (1) và (2)  ta có hệ phương trình : $\left(\begin{array}{c}xy=680\\ \left(x+6\right)\left(y-3\right)=680\end{array}\right)$

$\begin{array}{c}\iff \left(\begin{array}{c}xy=680\\ xy-3x+6y-18=680\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}xy=680\\ 680-3x+6y-18=680\end{array}\right)\\ \iff \left(\begin{array}{c}xy=680\\ 3x-6y+18=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}xy=680\\ x-2y=-6\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}xy=680\\ x=2y-6\end{array}\right)\\ \iff \left(\begin{array}{c}\left(2y-6\right)y=680\\ x=2y-6\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}2y^2-6y-680=0\left(1\right)\\ x=2y-6\left(2\right)\end{array}\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}\left(1\right)\iff y^2-3y-340=0\\ \Delta ={\left(-3\right)}^2+4.340=1369={37}^2>0\\ \Rightarrow \left(\begin{array}{c}{y}_1=\frac{3+37}{2}=20\Rightarrow x=2.20-6=34\left(tm\right)\\ y_2=\frac{3-37}{2}=-17\left(ktm\right)\end{array}\right)\end{array}$

Vậy chiều dài và chiều rộng ban đầu là $34m\mathrm{,20}m$nên chu vi là $\left(20+34\right).2=108m$

a) Ta có các điểm thuộc parabol (P) có tung độ bằng 9 thỏa mãn :

$x^2=9\iff x=\pm 3$

Vậy các điểm cần tìm là M(3;9) và N(-3;9)

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta có :

$x^2-2\left(m-1\right)x-m^2-2m=0$

Ta có : $\Delta \text{'}={\left(m-1\right)}^2-\left(-m^2-2m\right)=m^2-2m+1+m^2+2m=2m^2+1>0$(với mọi m)

Do đó đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B

Ta gọi hai điểm phân biệt đó là $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$

Mà $A,B\in \left(P\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{y}_1=x_1^2\\ y_2=x_2^2\end{array}\right)$ . Theo hệ thức Vi-et ta có: $\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m-2\\ x_1{x}_2=-m^2-2m\end{array}\right)$

Khi đó ta có :$y_1+y_2=4$

$\begin{array}{c}\iff x_1^2+x_2^2=4\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=4\\ \iff 4{\left(m-1\right)}^2-2\left(-m^2-2m\right)=4\\ \iff 4m^2-8m+4+2m^2+4m-4=0\\ \iff 6m^2-4m=0\iff 3m^2-2m=0\\ \iff \left(\begin{array}{c}m=0\\ m=\frac{2}{3}\end{array}\right)\end{array}$

Vậy tập giá trị của m thỏa mãn là $\left(0;\frac{2}{3}\right)$

Xét tứ giác AEHF có : $\angle AEH+\angle AFH=90°+90°=180°$. Mà 2 góc này nằm ở vị trí hai góc đối diện của tứ giác AEHF nên AEHF là tứ giác nội tiếp (dhnb)

Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ACB$ có : $\angle BACchung,\angle AEF=\angle ACB\left(cmt\right)$

Ta có điểm rơi của bài toán là a = b = c = 1

$BDT\iff \frac{1}{\frac{a}{\sqrt{3a+bc}}+1}+\frac{1}{\frac{b}{\sqrt{3b+ca}}+1}+\frac{1}{\frac{c}{\sqrt{3c+ab}}+1}\ge 2$

Áp dụng $BDT:\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}+\frac{1}{Z}\ge \frac{9}{X+Y+Z}$ . Dấu bằng xảy ra khi $X=Y=Z$ , ta có :

$\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{3a+bc}}+1}+\frac{1}{\frac{b}{\sqrt{3b+ca}}+1}+\frac{1}{\frac{c}{\sqrt{3c+ab}}+1}\ge \frac{9}{\frac{a}{\sqrt{3a+bc}}+\frac{b}{\sqrt{3b+ca}}+\frac{c}{\sqrt{3c+ab}}+3}$

Bây giờ bài toán trở về dạng quen thuộc, khi ta chỉ cần chứng minh

$\frac{a}{\sqrt{3a+bc}}+\frac{b}{\sqrt{3b+ca}}+\frac{c}{\sqrt{3c+ab}}\le \frac{3}{2}$

Chú ý rằng $3a+bc=\left(a+b+c\right)a+bc=a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)$

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{3a+bc}}=a\sqrt{\frac{1}{a+b}.\frac{1}{a+c}}\stackrel{AM-GM}{\le }\frac{a}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}\right)$

Tương tự : $\frac{b}{\sqrt{3b+ca}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}\right);\frac{c}{\sqrt{3c+ab}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c}\right)$

Cộng vế theo vế :

$\frac{a}{\sqrt{3a+bc}}+\frac{b}{\sqrt{3b+ca}}+\frac{c}{\sqrt{3c+ab}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\left(dfcm\right)$