Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 16)

a) Phương trình $x^2+5x-6=0$ có $a=\mathrm{1,}b=\mathrm{5,}c=-1$

Vì $a+b+c=1+5-6=0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$\left(\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_2=\frac{c}{a}=-6\end{array}\right)$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left(1;-6\right)$

b) Ta có : $\{\begin{array}{c}x+y=5\\ x-y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x=6\\ y=5-x\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=3\\ y=2\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm : $\left(x;y\right)=\left(3;2\right)$

a) Gọi chiều rộng mảnh đất là $x\left(m\right)\left(DK:x>0\right)\Rightarrow$Chiều dài mảnh đất : x + 7 (m)

Vì độ dài đường chéo của mảnh đất hình chữ nhật là 13m nên ta có phương trình :

$\begin{array}{c}{x}^2+{\left(x+7\right)}^2={13}^2\iff x^2+x^2+14x+49=169\\ \iff 2x^2+14x-120\iff x^2+7x-60=0\end{array}$

Ta có : $\Delta =7^2-\mathrm{4.1.}\left(60\right)=289={17}^2>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

$[\begin{array}{c}{x}_1=\frac{-7+17}{2}=5\left(tm\right)\\ x_2=\frac{-7-17}{2}=-12\left(ktm\right)\end{array}$

$\Rightarrow$ Chiều rộng mảnh đất là 5m chiều dài mảnh đất là 5 + 7 = 12(m)

Vậy diện tích mảnh đất hình chữ nhật là : $S=5.12=60\left(m^2\right)$

b) Phương trình (1) có $\Delta \text{'}=m^2+1>0$ (với mọi m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$. Khi đó áp dụng định lý Vi-et ta có :

$\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m\\ x_1{x}_2=-1\end{array}\right)$. Theo bài ra ta có :

$\begin{array}{c}{x}_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=7\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2=7\\ \iff 4m^2+3=7\iff 4m^2=4\iff m^2=1\iff m=\pm 1\end{array}$

Vậy $m=\pm 1$thỏa mãn yêu cầu bài toán

a) Ta có $OA=OC\Rightarrow O$ thuộc trung trực của AC

MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)$\Rightarrow M$ thuộc trung trực của AC

$\Rightarrow OM$ là trung trực của $AC\Rightarrow OM\perp AC$ tại E$\Rightarrow \angle ADM=90°$

Ta có : $\angle ADB=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)$\Rightarrow \angle ADM=90°$

Xét tứ giác AMDE có $\angle AEM=\angle ADM=90°\left(cmt\right)\Rightarrow AMDE$là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn AM dưới một góc $90°$

b) Xét $\Delta MAD$ và $\Delta MBA$ có :$\angle AMB$ chung, $\angle MDA=\angle MAB=90°$

Áp dụng BĐT phụ : $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge \frac{{\left(x+y+z\right)}^2}{a+b+c}$ . Dấu $"="$xảy ra khi $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c},a,b,c>0$

Chứng minh bất đẳng thức phụ:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ số $\left(\frac{x}{\sqrt{a}};\frac{y}{\sqrt{b}};\frac{z}{\sqrt{c}}\right)$ và $\left(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}\right)$ ta có :

$\left(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge {\left(x+y+z\right)}^2\iff \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge \frac{{\left(x+y+z\right)}^2}{a+b+c}$

Khi đó ta có :

$A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge \frac{{\left(a+b+c\right)}^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{{\left(a+b+c\right)}^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$

Vậy $A_{\min }=\frac{3}{2}.$Dấu $"="$xảy ra $\iff a=b=c=1$