Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 12)

a) Ta có : $2\sqrt{25}-\sqrt{16}=2.5-4=6$

Vậy $2\sqrt{25}-\sqrt{16}=6$

b) Hai đường thẳng $\left(d_1\right)$và $\left(d_2\right)$cắt nhau vì $3\ne -2$

c) Ta có : $2x-3=7\iff 2x=10\iff x=5$

Vậy nghiệm của phương trình là x = 5

d) Ta có : $\{\begin{array}{c}x+4y=11\\ x+3y=9\end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=2\\ x=9-3y\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=3\\ y=2\end{array}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left(x,y\right)=\left(3;2\right)$

Gọi chiều rộng của mảnh vườn nhà bạn Hoàng là $x\left(m\right)\left(x>0\right)$

Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng 6m nên chiều dài mảnh vườn là x + 6 (m)

Do diện tích của mảnh vườn là $216m^2$ nên ta có phương trình :

          $x\left(x+6\right)=216\iff x^2+6x-216=0$

Ta có $\Delta \text{'}=3^2+216=225={15}^2>0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

$[\begin{array}{c}{x}_1=-3+15=12\left(tm\right)\\ x_2=-3-15=-18\left(ktm\right)\end{array}$

Vậy chiều rộng là 12m và chiều dài của mảnh vườn là 12 + 6 = 18 (m)

Vậy chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn nhà bạn Hoàng lần lượt là 12m và 18m

a) Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A, ta có :

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=9^2+{12}^2=225\Rightarrow BC=\sqrt{225}=15cm$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

$AH.BC=AB.AC\iff AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{9.12}{15}=\mathrm{7,2}cm$

Vậy AH = 7,2 cm

a) Vì  BD, CE là các đường cao của $∆ABC$ nên $\angle AEH=\angle ADH=90°$

Xét tứ giác ADHE có : $\angle AEH+\angle ADH=90°+90°=180°$

$\Rightarrow ADHE$là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180°$

b) Vì ADHE là tứ giác nội tiếp nên $\angle ADE=\angle ABC$ (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)

Xét $∆ADE$ và $∆ABC$ có : $\angle BAC$ chung, $\angle ADE=\angle ABC\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \Delta ADE\backsim \Delta ABC(g.g)\Rightarrow \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$

Xét tam giác ABC có $\angle ADB=90°\left(gt\right),\angle BAD=45°\left(gt\right)\Rightarrow \Delta ABD$ vuông cân tại D$\Rightarrow \cos \angle BAD=\frac{AD}{AB}\iff \cos 45°=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $\frac{DE}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Phương trình (1) có hai nghiệm  $x_1;x_2$ khi và chỉ khi

$\Delta \ge 0\Rightarrow {\left(m^2+2m+2\right)}^2+4\left(m^2+m+1\right)\ge 0$ (luôn đúng với mọi m)

Nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$

Khi đó, áp dụng định lý Vi-et ta có :

$S=x_1+x_2=\frac{m^2+2m+2}{m^2+m+1}$

$\begin{array}{c}\iff m^{2}S+mS+S=m^2+2m+2\\ \iff \left(S-1\right)m^2+\left(S-2\right)m+S-2=0(*)\end{array}$

Th1: $S=1\Rightarrow -m+1-2=0\iff m=-1$

Th2: $S\ne 1$. Khi đó phương trình (*) có :

$\begin{array}{c}{\Delta }_m={\left(S-2\right)}^2-4\left(S-1\right)\left(S-2\right)\\ =S^2-4S+4-4\left(S^2-3S+2\right)=-3S^2+8S-4\end{array}$

Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=x_1+x_2$ thì phương trình (*) phải có nghiệm

Khi đó ta có : ${\Delta }_m\ge 0\iff -3S^2+8S-4\ge 0$

$\begin{array}{c}\iff -3S^2+6S+2S-4\ge 0\iff -3S\left(S-2\right)+2\left(S-2\right)\ge 0\\ \iff \left(S-2\right)\left(-3S+2\right)\ge 0\\ \iff \left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}S-2\ge 0\\ -3S+2\ge 0\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}S-2\le 0\\ -3S+2\le 0\end{array}\right)\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}S\ge 2\\ S\le \frac{2}{3}\end{array}\right)\Rightarrow S\in \varnothing \\ \left(\begin{array}{c}S\le 2\\ S\ge \frac{2}{3}\end{array}\right)\iff \frac{2}{3}\le S\le 2\end{array}\right)\end{array}$

Do đó GTNN của biểu thức $S=x_1+x_2$ bằng $\frac{2}{3}$ và GTLN của biểu thức $S=x_1+x_2$ bằng 2.

Với $S =\frac{2}{3}$ ta có :

$\begin{array}{c}\frac{m^2+2m+2}{m^2+m+1}=\frac{2}{3}\iff 3\left(m^2+2m+2\right)=2\left(m^2+m+1\right)\\ \iff m^2+4m+4=0\iff {\left(m+2\right)}^2=0\iff m=-2\left(tm\right)\end{array}$

Với S = 2 ta có :

$\begin{array}{c}\frac{m^2+2m+2}{m^2+m+1}=2\Rightarrow m^2+2m+2=2m^2+2m+2\\ \iff m^2=0\iff m=0\left(tm\right)\end{array}$

Vậy GTNN của $S=x_1+x_2$ bằng $\frac{2}{3}$ đạt được khi m = -2    

Và GTLN của biểu thức $S=x_1+x_2$bằng  2 đạt được khi m = 0