Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)- Đề 9

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$\left(\begin{array}{c}{x}_1=\frac{7+\sqrt{9}}{2.1}=5\\ x_2=\frac{7-\sqrt{9}}{2.1}=2\end{array}\right)$

$\begin{array}{c}2) {\left(x^2+2x\right)}^2-6x^2-12x+9=0\\ \iff {\left(x^2+2x\right)}^2-6\left(x^2+2x\right)+9=0(*)\end{array}$

Đặt $x^2+2x=t.$Khi đó ta có phương trình:

$\begin{array}{c}(*)\iff t^2-6t+9=0\iff {\left(t-3\right)}^2=0\iff t-3=0\iff t=3\\ \iff x^2+2x=3\iff x^2+2x-3=0\iff x^2+3x-x-3=0\\ \iff x\left(x+3\right)-\left(x+3\right)=0\iff \left(x-1\right)\left(x+3\right)=0\\ \iff \left(\begin{array}{c}x+3=0\\ x-1=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=-3\\ x=1\end{array}\right)\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left(-3;1\right)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(1;-3\right)$

    Học sinh tự vẽ đồ thị (P)

      2, Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số (d) và (P)

$\frac{1}{2}{x}^2=x+m-1\iff x^2-2x-2m+2=0(*)$

Theo đề bài ta có: $\left(d\right)$cắt (P) tại hai điểm $A\left(x_A,y_A\right),B\left(x_B,y_B\right)$phân biệt

$\iff (*)$có hai nghiệm phân biệt $\iff \Delta \text{'}>0$

$\iff 1-\left(-2m+2\right)>0\iff 1+2m-2>0\iff m>\frac{1}{2}$

Vậy với $m>\frac{1}{2}$thì phương trình (*) có hai nghiệm $x_A,x_B$phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{array}{c}{x}_A+x_B=2\\ x_A{x}_B=-2m+2\end{array}$

Theo đề bài ta có: $\{\begin{array}{c}{x}_A>0\\ x_B>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_A+x_B>0\\ x_A.x_B>0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2>0\forall m\\ -2m+2>0\end{array}\iff -2m>-2\iff m<1$

Kết hợp các điều kiện của m ta được: $\frac{1}{2}<m<1$

Vậy $\frac{1}{2}<m<1$thỏa mãn bài toán.

$x^2+ax+b+2=0$  ta có: $\Delta =a^2-4\left(b+2\right)=a^2-4b-8$

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta >0\iff a^2-4b-8>0(*)$

Khi đó, áp dụng định lý Viet ta có: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-a\\ x_1{x}_2=b+2\end{array}$

Theo bài ra ta có:

$\{\begin{array}{c}{x}_1-x_2=4\\ x_1^3-x_2^3=28\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_1-x_2=4\\ {\left(x_1-x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1-x_2\right)=28\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_1-x_2=4\\ 4^3+12x_1{x}_2=28\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_1-x_2=4\\ x_1{x}_2=-3\end{array}$mà 

$x_1{x}_2=b+2\Rightarrow b+2=-3\iff b=-3-2=-5$

Ta có: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-a\\ x_1-x_2=4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x_1=4-a\\ 2x_2=-a-4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_1=\frac{4-a}{2}\\ x_2=\frac{-a-4}{2}\end{array}$

$\begin{array}{c}\Rightarrow x_1{x}_2=-3\iff \frac{4-a}{2}.\left(\frac{-a-4}{2}\right)=-3\\ \iff \left(4-a\right)\left(a+4\right)=12\\ \iff 16-a^2=12\iff a^2=4\iff [\begin{array}{c}a=2\\ a=-2\end{array}\end{array}$

Với $a^2=\mathrm{4,}b=-5\Rightarrow a^2-4b-8=4-4.(-5)-8=16>0\Rightarrow$thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy có 2 cặp số $\left(a,b\right)$thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\left(a,b\right)\in \left\{\left(2;-5\right);\left(-2;-5\right)\right\}$

Gọi số sản phẩm thực tế mỗi ngày tổ công nhân sản xuất được là x (sản phẩm) $\left(x\in \mathbb{N}*,x>4\right)$

$\to$Thời gian thực tế mà tổ công nhân hoàn thành xong 140 sản phẩm là $\frac{140}{x}$ngày

Theo kế hoạch mỗi ngày tổ công nhân đó sản xuất được số sản phẩm: x-4 

$\to$Thời gian theo kế hoạch mà tổ công nhân hoàn thành xong 140 sản phẩm:$\frac{140}{x-4}$(ngày)

Theo đề bài ta có thời gian thực tế hoàn thành xong sớm hơn so với thời gian dự định là 4 ngày nên ta có phương trình:

$\begin{array}{c}\frac{140}{x-4}-\frac{140}{x}=4\\ \Rightarrow 140x-140\left(x-4\right)=4x\left(x-4\right)\\ \iff 35x-35\left(x-4\right)=x\left(x-4\right)\\ \iff x^2-4x-140=0\\ \iff x^2-14x+10x-140=0\\ \iff x\left(x-14\right)+10\left(x-14\right)=0\\ \iff \left(x+10\right)\left(x-14\right)=0\\ \iff [\begin{array}{c}x+10=0\\ x-14=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=-10\left(ktm\right)\\ x=14\left(tm\right)\end{array}\end{array}$

Vậy thực tế mỗi ngày tổ công nhân đã làm được 14 sản phẩm .

     Xét $\Delta OAM$và $\Delta OBM$ta có:

$OA=OB\left(=R\right);$OM chung; $MA=MB$(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \Delta OAM=\Delta OBM\left(c.c.c\right)\Rightarrow S_{OAM}=S_{OBM}\Rightarrow S_{MAOB}=S_{OAM}+S_{OBM}=2S_{OAM}$

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông OAM ta có:

$\begin{array}{c}A{M}^2=O{M}^2-O{A}^2={\left(2R\right)}^2-R^2=3R^2\Rightarrow AM=R\sqrt{3}\\ \Rightarrow S_{MAOB}=2S_{OAM}=2.\frac{1}{2}OA.AM=R.R\sqrt{3}=R^2\sqrt{3}\left(dvdt\right)\end{array}$

2,Xét tứ giác AINH có $\widehat{AIN}+\widehat{AHN}={90}^0+{90}^0={180}^0\Rightarrow AINH$là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{NIH}=\widehat{NAH}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung HN)

Mà $\widehat{NAH}=\widehat{NBA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{AN})$

$\Rightarrow \widehat{NIH}=\widehat{NBA}\left(=\widehat{NAH}\right)\left(dfcm\right)$

3,Xét tứ giác NIBK ta có: $\widehat{NIB}+\widehat{NKB}={90}^0+{90}^0={180}^0$mà hai góc này là hai góc đối diện $\Rightarrow NIBK$ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \widehat{KBN}=\widehat{NIK}$(2 góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{KB})$

Xét đường tròn (O) ta có: $\widehat{KBN}=\widehat{NAB}$( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{BN})$$\Rightarrow \widehat{NIK}=\widehat{NAB}\left(=\widehat{KBN}\right)$

Xét $\Delta ANB$có: $\widehat{ANB}+\widehat{NAB}+\widehat{NBA}={180}^0$(tổng 3 góc trong một tam giác)

Lại có: $\widehat{NIH}=\widehat{NAB}\left(cm2\right)=\widehat{NIE};\widehat{NIK}=\widehat{NAB}\left(cmt\right)=\widehat{NIF};\widehat{ANB}=\widehat{ENF}$

$\Rightarrow \widehat{ENF}+\widehat{ENI}+\widehat{NIF}=\widehat{ENF}+\widehat{EIF}={180}^0$

Mà $\widehat{ENF,}\widehat{EIF}$là hai góc đối diện $\Rightarrow$Tứ giác NEIF là tứ giác nội tiếp

Theo đề bài ta có O, N, M thẳng hàng $\Rightarrow ON=R=\frac{1}{2}OM\Rightarrow N$ là trung điểm của OM

Ta có: $ON\perp AB=\left(I\right)\Rightarrow I$ là trung điểm của AB (tính chất đường kính dây cung)

Lại có:$OA=OB=R\Rightarrow ON$là đường trung trực của $AB\Rightarrow NA=NB$

Xét $\Delta MAO$ta có: $\cos \widehat{AOM}=\frac{OA}{OM}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AOM}={60}^0=\widehat{AON}$

Xét $\Delta AON$ta có: $\left(\begin{array}{c}OA=ON=R\\ \widehat{AON}={60}^0\end{array}\right)\Rightarrow \Delta AON$là tam giác đều.