Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)- Đề 6

a)    Rút gọn biểu thức

Điều kiện : $x\ge \mathrm{0,}x\ne 1$

$\begin{array}{c}A=\frac{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2+{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}\\ =\frac{x+2\sqrt{x}+1+x-2\sqrt{x}+1}{x-1}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}\\ =\frac{2x+2}{x-1}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}=\frac{2x-2\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{x-1}\\ =\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\\ =\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\end{array}$

 

a)    Điều kiện: $x\ge \mathrm{0,}x\ne 1$

Ta có: $2019A=2019.\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=2019.\left(2-\frac{3}{\sqrt{x}+1}\right)=4038-\frac{6057}{\sqrt{x}+1}$

Vì $2019A\in \mathbb{Z}\Rightarrow \sqrt{x}+1\in U\left(6057\right)$

Mà $\sqrt{x}+1\ge 1\forall x\ge \mathrm{0,}x\ne 1\Rightarrow \sqrt{x}+1\in \left\{1;3;9;2019;6057\right\}$

TH1: $\sqrt{x}+1=1\iff x=0\left(tm\right)$

TH2: $\sqrt{x}+1=3\iff \sqrt{x}=2\iff x=4\left(tm\right)$

TH3: $\sqrt{x}+1=9\iff \sqrt{x}=8\iff x=64\left(tm\right)$

TH4: $\sqrt{x}+1=2019\iff \sqrt{x}=2018\iff x={2018}^2\left(tm\right)$

TH5: $\sqrt{x}+1=6057\iff \sqrt{x}=6056\iff x={6056}^2\left(tm\right)$

Vậy $x\in \left\{0;4;64;{2018}^2;{6056}^2\right\}$

Gọi số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 là x (bài ) $\left(x\in \mathbb{N}\right)$ và số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 10 là y (bài)

$\left(y\in \mathbb{N}\right)$

Do số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 và điểm 10 nhiều hơn 16 bài nên $x+y>16\iff 9x+9y>144\left(1\right)$

Tổng số điểm của x bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 là 9x (điểm)

Tổng số điểm của y bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 10 là 10y (điểm)

Do tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đạt 9 điểm và 10 điểm là 160 nên ta có phương trình:

$9x+10y=160\iff 9x=160-10y$

Thay vào (1) ta có: $160-10y+9y>144\iff y<16$

Do $y\in \mathbb{N}\Rightarrow y\in \left(0;1;2;3;\mathrm{.......};15\right)$

Ta có:

$x\in \mathbb{N}\Rightarrow 9x=160-10y\equiv 0\left(\mathrm{mod}9\right)\Rightarrow 153+7-9y-y\equiv 0\left(\mathrm{mod}9\right)$

$\begin{array}{c}\iff 7-y\equiv 0\left(\mathrm{mod}9\right)\iff y\equiv 7\left(\mathrm{mod}9\right)\\ \Rightarrow y=7\Rightarrow x=10\left(tm\right)\end{array}$

Vậy số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 là 10 bài và số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 10 là 7 bài

 

       

     Ta có $AI\perp BC\Rightarrow \widehat{CIH}={90}^0,BK\perp AC\Rightarrow \widehat{CKH}={90}^0$

Xét tứ giác CIFK có $\widehat{CIH}+\widehat{CKH}={90}^0+{90}^0={180}^0\Rightarrow$Tứ giác CIFK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ${180}^0)$

     Ta có : $\widehat{ACB}=\widehat{AMB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}{.90}^0={45}^0$(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB)

Có $AI\perp BC\Rightarrow \Delta IAC$vuông tại I , lại có : $\widehat{ACB}=\widehat{ACI}={45}^0\Rightarrow \Delta IAC$vuông cân tại I

$\Rightarrow \widehat{IAC}={45}^0$$\Rightarrow \widehat{AMB}=\widehat{IAC}={45}^0$, mà hai góc này ở vi trí so le trong $\Rightarrow BM//AC$

Mà $BK\perp AC\left(gt\right)$hay $BN\perp AC\Rightarrow BM\perp BN$(từ vuông góc đến song song)

$\Rightarrow \widehat{MBN}={90}^0\Rightarrow \widehat{MBN}$nội tiếp chắn nửa đường tròn $\Rightarrow MN$là đường kính của đường tròn (O).

Có $\widehat{IAC}={45}^0\left(cmt\right)\Rightarrow \widehat{MAC}={45}^0$

Mà $\widehat{MAC}=\frac{1}{2}\widehat{MOC}$(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung MC)

$\Rightarrow \widehat{MOC}=2\widehat{MAC}={2.45}^0={90}^0\Rightarrow OC\perp OM$  hay $OC\perp MN\left(1\right)$

Ta có: $\widehat{ANB}=\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}{.90}^0={45}^0$(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB)

Tam giác KBC có $\widehat{BKC}={90}^0,\widehat{KCB}=\widehat{ACB}={45}^0\Rightarrow \widehat{KBC}={45}^0$

$\Rightarrow \widehat{ANB}=\widehat{KBC}={45}^0.$mà hai góc này ở vị trí so le trong $\Rightarrow BC//AN$

Theo giả thiết ta có $BC\perp AI\Rightarrow AI\perp AN$ hay $MA\perp DN$(từ vuông góc đến song song)

Mặt khác ta có : $BC\perp AI\Rightarrow AI\perp AN$

Xét tam giác DMN có hai đường cao $MA,NB$cắt nhau tại H$\Rightarrow H$ là trực tâm của tam giác DMN

$\Rightarrow DH\perp MN\left(2\right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow OC//DH$ (đpcm)

a)    Ta có: $\Delta \text{'}=m^2+2m+1={\left(m+1\right)}^2$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta >0\iff {\left(m+1\right)}^2>0\iff m\ne -1$

Khi $m\ne -1$phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\left(\begin{array}{c}{x}_1=m+m+1=2m+1\\ x_2=m-\left(m+1\right)=-1\end{array}\right)$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{c}\sqrt{x_1+x_2}+\sqrt{3+x_1{x}_2}=2m+1\iff \sqrt{2m}+\sqrt{3-\left(2m+1\right)}=2m+1\iff \sqrt{2m}+\sqrt{2-2m}=2m+1\\ \iff \left(\begin{array}{c}2m+1\ge 0\\ 2m\ge 0\\ 2-2m\ge 0\\ 2m+2-2m+2\sqrt{2m(2-2m)}=4m^2+4m+1\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}m\ge -\frac{1}{2}\\ m\ge 0\\ m\le 1\\ 2\sqrt{2m\left(2-2m\right)}=4m^2+4m-1\end{array}\right)\\ \iff \left(\begin{array}{c}0\le m\le 1\\ 4\left(4m-4m^2\right)=16m^4+16m^2+1+32m^3-8m^2-8m\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}0\le m\le 1\\ 16m^4+32m^3+24m^2-24m+1=0\end{array}\right)\\ \iff \left(\begin{array}{c}0\le m\le 1\\ \left(2m-1\right)\left(8m^3+20m^2+22m-1\right)=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}0\le m\le 1\\ \left(\begin{array}{c}m=\frac{1}{2}\\ m\approx \mathrm{0,044}\end{array}\right)\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}m=\frac{1}{2}\\ m\approx \mathrm{0,044}\end{array}\right)\left(tm\right)\end{array}$

 

Vậy $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m\approx \mathrm{0,044}$

      Tìm giá trị lớn nhất

Ta có : $ab\ge 0\iff ab+1\ge 1\iff \frac{1}{ab+1}\le 1\iff M=\frac{a^3+b^3+4}{ab+1}\le a^3+b^3+4$

Ta có: $\left(\begin{array}{c}a,b\ge 0\\ a^2+b^2=2\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}{a}^2\le 2\\ b^2\le 2\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}0\le a^3\le a^2\sqrt{2}\\ 0\le b^3\le b^2\sqrt{2}\end{array}\right)$

Do đó: $a^3+b^3+4\le a^2\sqrt{2}+b^2\sqrt{2}+4=\sqrt{2}.\left(a^2+b^2\right)+4=2\sqrt{2}+4$

$\Rightarrow M\le 2\sqrt{2}+4$

Dấu $"="$xảy ra $\iff \left(\begin{array}{c}{a}^2=2\\ b^2=2\\ ab=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}a=\sqrt{2}\\ b=0\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}a=0\\ b=\sqrt{2}\end{array}\right)\end{array}\right)$

Vậy $MaxM=2\sqrt{2}+4\iff \left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}a=\sqrt{2}\\ b=0\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}a=0\\ b=\sqrt{2}\end{array}\right)\end{array}\right)$