Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)- Đề 4

Điều kiện: $x>\mathrm{0,}x\ne \mathrm{1,}x\ne 4$

$\begin{array}{c}B=\left(\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right):\frac{4\sqrt{x}-4}{x-2\sqrt{x}}\\ =\frac{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-x}{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-2\right)}.\frac{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-2\right)}{4\left(\sqrt{x}-1\right)}\\ =\frac{x-4-x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}.\frac{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-2\right)}{4\left(\sqrt{x}-1\right)}\\ =\frac{-4}{4\left(\sqrt{x}-1\right)}=-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\end{array}$

 

a, Học sinh tự vẽ (P) và (d)

b,Đường thẳng $\left(d_1\right):y=ax+b$ song song với đường thẳng $\left(d\right):y=x-3$

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}a=1\\ b\ne -3\end{array}\right)\Rightarrow \left(d_1\right):y=x+b\left(b\ne -3\right)$

Đường thẳng $\left(d_1\right)$ đi qua điểm $A\left(-1;-2\right)$ nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng (d1) ta được: $-2=-1+b\iff b=-1\left(tm\right)$

Vậy $\left(d_1\right)y=x-1$

        $\{\begin{array}{c}x-2y=1\\ 3x+2y=11\end{array}\iff \{\begin{array}{c}4x=12\\ x-2y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=3\\ 3-2y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=3\\ y=1\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(3;1\right)$

 $x^4-9x^2+20=0$. Đặt $t=x^2\left(t\ge 0\right)$

Phương trình thành $t^2-9t+20=0\iff \left(\begin{array}{c}{t}_1=5\left(tm\right)\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}\\ t_2=4\left(tm\right)\Rightarrow x=\pm 2\end{array}\right)$

Vậy $S=\left(\pm \sqrt{5};\pm 2\right)$

c)    Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ của tam giác đã cho là $x\left(cm\right),\left(0<x<13\right)$

Độ dài các cạnh góc vuông hơn kém nhau $7cm\Rightarrow$ độ dài cạnh góc vuông lớn là $x+7\left(cm\right)$

Áp dụng định lý Pytago ta có phương trình:

$\begin{array}{c}{x}^2+{\left(x+7\right)}^2={13}^2\iff x^2+x^2+14x+49=169\\ \iff 2x^2+14x-120=0\iff x^2+7x-60=0\\ \iff x^2-5x+12x-60=0\iff x\left(x-5\right)+12\left(x-5\right)=0\\ \iff \left(x+12\right)\left(x-5\right)=0\iff \left(\begin{array}{c}x=5\left(tm\right)\\ x=-12\left(ktm\right)\end{array}\right)\end{array}$

Vậy độ dài cạnh góc vuông nhỏ của tam giác là 5cm độ dài cạnh góc vuông lớn của tam giác là $5+7=12cm$

a)    Thay m =2  vào phương trình (1) ta có:

$\begin{array}{c}\left(1\right)\iff x^2-2x-3=0\iff x^2-3x+x-3=0\\ \iff x\left(x-3\right)+\left(x-3\right)=0\iff \left(x+1\right)\left(x-3\right)=0\\ \iff \left(\begin{array}{c}x+1=0\\ x-3=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=-1\\ x=3\end{array}\right)\end{array}$

Vậy m=2  thì phương trình có tập nghiệm $S=\left(-1;3\right)$

b, Phương trình có $\Delta =m^2+12>0\forall m$

$\Rightarrow$Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi m 

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có $\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2=m\\ x_1{x}_2=-3\end{array}\right)$

Ta có: $A=\frac{2\left(x_1+x_2\right)+5}{x_1^2+x_2^2}=\frac{2m+5}{m^2+6}$

$=\frac{m^2+2m+1-m^2-6+10}{m^2+6}=\frac{{\left(m+1\right)}^2+10}{m^2+6}-1$

Để $A_{\max }\iff {\left(m^2+6\right)}_{\min }\iff Min\left(m^2+6\right)=6\iff m=0$

Vậy $MaxA=\frac{1^2+10}{6}-1=\frac{5}{6}\iff m=0$

      Ta có:

 

Xét tứ giác CDHE có: $\widehat{HEC}+\widehat{HDC}={90}^0+{90}^0={180}^0\Rightarrow$ Tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác BCEF có: $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}={90}^0\Rightarrow$Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

b)    Do tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp (cmt)$\Rightarrow \widehat{MBF}=\widehat{FEC}=\widehat{MEC}$ (góc ngoài và góc trong tại dỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)

Xét tam giác MBF và tam giác MEC có:

$\widehat{EMC}$chung; $\widehat{MBF}=\widehat{MEC}\left(cmt\right)$ $\Rightarrow \Delta MBF~\Delta MEC(g.g)$

$\Rightarrow \frac{MB}{MF}=\frac{ME}{MC}\Rightarrow MB.MC=ME.MF$

c, Nối FD

FB là tia phân giác $\widehat{MFD}\Rightarrow \frac{MB}{BD}=\frac{MF}{FD}$

$FB\perp FC\Rightarrow FC$là tia phân giác ngoài

$\Rightarrow \frac{OD}{MC}=\frac{FD}{MF}\Rightarrow \frac{MC}{CD}=\frac{MF}{FD}$

$\Rightarrow \frac{MB}{BD}=\frac{MC}{CD}\Rightarrow \frac{MB}{MC}=\frac{BD}{CD}$

 

Áp dụng Ta-let suy ra $\left(\begin{array}{c}\frac{BK}{AC}=\frac{BD}{DC}\\ \frac{BI}{AC}=\frac{MB}{MC}\end{array}\right)\Rightarrow BK=BI$

$\Rightarrow HB$ đồng thời là đường trung tuyến và là đường cao

$\Rightarrow \Delta HIK$cân tại H $\Rightarrow HI=HK$