Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)- Đề 3

a)   Ta có :$\{\begin{array}{c}x-y=2\\ 3x+2y=11\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x-2y=4\\ 3x+2y=11\end{array}\iff \{\begin{array}{c}5x=15\\ x-y=2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=3\\ y=1\end{array}$

Vậy hệ có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(3;1\right)$

a)    Khi m=1  thì (1) trở thành $x^2-\left(1+1\right)x+1-4=0\iff x^2-2x-3=0\iff \left(\begin{array}{c}x=-1\\ x=3\end{array}\right)$

Vậy với m =1 thì phương trình có tập nghiệm $S=\left(-1;3\right)$

a)    Phương trình có hai nghiệm $\iff \left(\begin{array}{c}a=1\ne 0\\ \Delta ={\left(m+1\right)}^2-4\left(m-4\right)\ge 0\end{array}\right)$

$\iff m^2+2m+1-4m+16\ge 0\iff m^2-2m+17\ge 0$(luôn đúng do $m^2-2m+17>0)$

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Ta có: $x^2-\left(m+1\right)x+m-4=0\iff x^2-mx-x+m-4=0\iff x^2-mx+m=x+4$

Do $x_1,x_2$là nghiệm của (1) nên $\left(\begin{array}{c}{x}_1^2-m{x}_1+m=x_1+4\\ x_2^2-m{x}_2+m=x_2+4\end{array}\right)$

Thay vào đẳng thức bài ta được : $\left(x_1+4\right)\left(x_2+4\right)=2$

$\iff x_1{x}_2+4\left(x_1+x_2\right)+16=2\iff x_1{x}_2+4\left(x_1+x_2\right)+14=0\left(2\right)$

Theo định lý Vi et ta có: $\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2=m+1\\ x_1{x}_2=m-4\end{array}\right),$thay vào (2) ta được:

$m-4+4\left(m+1\right)+14=0\iff 5m+14=0\iff m=-\frac{14}{5}$

Vậy $m=-\frac{14}{5}$ là giá trị cần tìm .

Gọi số sách Toán Hội khuyến học tính tặng cho trường A là x quyển ($0<x<\mathrm{245,}x\in \mathbb{N})$

Thì số sách Ngữ văn hội khuyến học tính tặng cho trường A là $245-x$(quyển)

Số sách toán nhà trường dùng để phát cho học sinh khó khăn là $\frac{1}{2}x$quyển

Số sách Ngữ văn nhà trường dùng để phát cho học sinh khó khăn là $\frac{2}{3}\left(245-x\right)$ quyển

Vì mỗi bạn nhận được 1 quyển sách Toán và 1 quyển sách Ngữ văn nên số quyển sách Toán và số quyển sách Ngữ văn đem phát là bằng nhau.

Ta có phương trình : $\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}\left(245-x\right)$

$\begin{array}{c}\iff \frac{1}{2}x=\frac{490}{3}-\frac{2x}{3}\iff \frac{7}{6}x=\frac{490}{3}\\ \iff x=\frac{490}{3}:\frac{7}{6}\iff x=140\left(tm\right)\end{array}$

Vậy số sách Toán Hội khuyến học tỉnh tặng cho trường A là 140 quyển

Số sách Ngữ văn Hội khuyến học tỉnh tặng cho trường A là $245-140=105$ quyển

a)    Xét tứ giác DHKC có: $\widehat{DHC}={90}^0($do $CH\perp BD),\widehat{DKC}={90}^0$(do $DK\perp AC)$

Suy ra $\widehat{DHC}=\widehat{DKC}\left(={90}^0\right)$nên hai đỉnh H, K kề nhau cùng nhìn cạnh CD dưới các góc vuông nên tứ giác $DHCK$ là tứ giác nội tiếp

b)    Gọi O là trung điểm AC

Xét đường tròn  (O) có $\widehat{ABD}={60}^0\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{ABD}={60}^0$(hai góc nôi tiếp cùng chắn cung AD)

Lại có $\widehat{CDA}={90}^0$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

Xét tam giác $ACD$vuông tại D có $AC=4cm,\widehat{ACD}={60}^0$nên

$AD=AC.\sin \widehat{ACD}=4.\sin {60}^0=2\sqrt{3}\left(cm\right)$

Và CD$=AC.\cos \widehat{ACD}=4.\cos {60}^0=2cm$

Diện tích tam giác ACD là $S_{ACD}=\frac{1}{2}AD.DC=\frac{1}{2}.2\sqrt{3}.2=2\sqrt{3}c{m}^2$

c, Vì  $EK//BC\Rightarrow \widehat{DEK}=\widehat{DBC}\left(1\right)$(hai góc ở vị trí đồng vị)

Xét đường tròn (O) có $\widehat{DBC}=\widehat{DAC}\left(2\right)$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{DEK}=\widehat{DAK}$

Suy ra tứ giác AEKD có hai đỉnh A, E cùng nhìn cạnh KD dưới các góc bằng nhau nên tứ giác AEKD là tứ giác nội tiếp , suy ra $\widehat{AED}=\widehat{AKD}={90}^0$

Do đó $AE\perp EB$ suy ra $\Delta AEB$ vuông tại E

Lại có AB cố định nên E thuộc đường tròn đường kính AB cố định khi I thay đổi trên đoạn OC