Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)- Đề 24

a, Khi  $x=9\left(tm\right)$thay vào A ta được $A=\frac{4.\left(\sqrt{9}+1\right)}{25-9}=\frac{16}{16}=1$

Vậy với x=9 thì A= 1

b, Điều kiện $x\ge \mathrm{0,}x\ne 25$

$\begin{array}{c}B=\left(\frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2}{\sqrt{x}+5}\right)\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}=\left[\frac{15-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}+\frac{2}{\sqrt{x}+5}\right].\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+1}\\ =\frac{15-\sqrt{x}+2\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}.\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+1}=\frac{15-\sqrt{x}+2\sqrt{x}-10}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\frac{\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}\end{array}$

c, Điều kiện $x\ge \mathrm{0,}x\ne 25$

Ta có: $P=AB=\frac{4\left(\sqrt{x}+1\right)}{25-x}.\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{4}{25-x}$

$x\in \mathbb{Z}\Rightarrow P\in \mathbb{Z}\iff \frac{4}{25-x}\in \mathbb{Z}\Rightarrow 4⋮\left(25-x\right)\Rightarrow \left(25-x\right)\in U\left(4\right)$

Mà Ư(4)=$\left(\pm 1;\pm 2;\pm 4\right)\Rightarrow \left(25-x\right)\in \left(\pm 1;\pm 2;\pm 4\right)$

Ta có bảng giá trị

$\Rightarrow x\in \left(23;24;26;27;29\right)$ thì $P\in \mathbb{Z}$

Qua bảng giá trị ta thấy với x= 24 thì P=4 là số nguyên lớn nhất

Vậy x= 24 thỏa mãn điều kiện bài toán.

a, Gọi số ngày làm một mình xong công việc của đội 1 là x (ngày) $\left(x>15\right)$

Số ngày làm một mình xong công việc của đội 2 là y (ngày ) ($y>15)$

Trong một ngày đội 1 làm được số phần công việc là $\frac{1}{x}$(công việc)

Trong một ngày đội 2 làm được số phần công việc là $\frac{1}{y}$(công việc)

Vì hai đội làm chung trong 15 ngày thì xong nên ta có phương trình: $\frac{15}{x}+\frac{15}{y}=1\left(1\right)$

Trong  3 ngày đội 1 làm được $\frac{3}{x}$công việc, trong 5 ngày đội 2 làm được $\frac{5}{y}$công việc

Đội 1 làm trong 3 này và đội hai làm trong 5 ngày được $25\%=\frac{1}{4}$công việc nên ta có phương trình $\frac{3}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4} \left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left(\begin{array}{c}\frac{15}{x}+\frac{15}{y}=1\\ \frac{3}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}\end{array}\right)$

Đặt $\left(\begin{array}{c}\frac{1}{x}=a\\ \frac{1}{y}=b\end{array}\right)$ta được: $\left(\begin{array}{c}15a+15b=1\\ 3a+5b=\frac{1}{4}\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}a=\frac{1}{24}\\ b=\frac{1}{40}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}\frac{1}{x}=\frac{1}{24}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{40}\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=24\left(tm\right)\\ y=40\left(tm\right)\end{array}\right)$

Vậy đội 1 mất 24 ngày làm xong, đội 2 mất 40 ngày làm xong

b,Thể tích bồn nước là: $V=Sh=\mathrm{0,32.1,75}=\mathrm{0,56}\left(m^3\right)$

Vậy bồn nước đựng được $\mathrm{0,56}{m}^3$nước

 Đặt $x^2=t\left(t\ge 0\right)$ ta có phương trình : $t^2-7t-18=0$

$\begin{array}{c}\iff t^2-9t+2t-18=0\\ \iff t\left(t-9\right)+2\left(t-9\right)=0\\ \iff \left(t+2\right)\left(t-9\right)=0\\ \iff \left(\begin{array}{c}t=-2\left(ktm\right)\\ t=9\left(tm\right)\Rightarrow x^2=9\iff \left(\begin{array}{c}x=3\\ x=-3\end{array}\right)\end{array}\right)\end{array}$

a, Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) ta có:

$x^2=2mx-m^2+1\iff x^2-2mx+m^2-1=0(*)$

Số giao điểm của (d) và (P) cũng chính là số nghiệm của phương trình (*)

Phương trình (*) có $\Delta \text{'}=m^2-\left(m^2-1\right)=1>0$ nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Theo hệ thức Viet ta có: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m\\ x_1{x}_2=m^2-1\end{array}$

Xét $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{-2}{x_1{x}_2}+1\left(x_1{x}_2\ne 0\iff m^2-1\ne 0\iff m\ne \pm 1\right)$

$\begin{array}{c}\iff \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{-2+x_1{x}_2}{x_1{x}_2}\\ \Rightarrow x_1+x_2-x_1{x}_2+2=0\\ \iff 2m-m^2+1+2=0\\ \iff m^2-2m-3=0\\ \iff [\begin{array}{c}m=-1\left(ktm\right)\\ m=3\left(tm\right)\end{array}\end{array}$

Vậy m=3 là giá trị thỏa mãn đề bài  

a,

Ta có $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}={90}^0\left(gt\right)\Rightarrow$Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

Vậy bốn điểm B, C, E,F cùng thuộc một đường tròn.

b,Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại A, ta có $Ax\perp OA$

Ta có: $\widehat{xAE}=\widehat{ABC}$(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn $\stackrel{⏜}{AC})$

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{AEF}$(góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nôi tiếp)

$\Rightarrow \widehat{xAE}=\widehat{AEF}$, mà hai góc này ở vị trí so le trong $\Rightarrow EF//Ax\Rightarrow EF\perp OA$

c,Ta đã chứng minh được $\widehat{DAF}=\widehat{GAN}$hay $\widehat{IAB}=\widehat{PAE}$

Lại có: $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$ (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)

$\Rightarrow \Delta APE~\Delta AIB(g.g)$

Kéo dài AI cắt (O) tại Q$\Rightarrow AQ$là đường kính của (O) 

Nối $BQ,CQ$ta có: $\widehat{ABQ}={90}^0$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)$\Rightarrow AB\perp BQ$

Mà $CH\perp AB\Rightarrow CH//BQ$

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: $BH//CQ$

Suy ra BHCQ là hình bình hành mà K là trung điểm của BC (gt)

$\Rightarrow K$cũng là trung điểm của HQ nên $H,K,Q$thẳng hàng

Ta có: $\Delta APE~\Delta AIB\left(cmt\right)\Rightarrow \frac{AP}{AI}=\frac{AE}{AB}\left(3\right)$

Xét $\Delta AHE$và $\Delta AQB$ có:

$\begin{array}{c}\widehat{AEH}=\widehat{ABQ}={90}^0;\widehat{QAB}=\widehat{EAH}\left(cmt\right)(do\mathrm{..}\widehat{DAF}=\widehat{GAN})\\ \Rightarrow \Delta AHE~\Delta AQB(g.g)\Rightarrow \frac{AH}{AQ}=\frac{AE}{AB}\left(4\right)\end{array}$

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \frac{AP}{AI}=\frac{AH}{AQ}\Rightarrow \frac{AP}{AH}=\frac{AI}{AQ}\Rightarrow PI//HQ$ (định lý Talet đảo) (đpcm)

Ta có: $a^2+b^2+ab=3\iff a^2+b^2=3-ab$

Ta thấy ${\left(a-b\right)}^2\ge 0\iff a^2+b^2\ge 2ab\iff 3-ab\ge 2ab\iff ab\le 1$

Lại có: ${\left(a+b\right)}^2\ge 0\iff a^2+b^2\ge -2ab\iff 3-ab\ge -2ab\iff 3\ge -ab\iff ab\ge -3$

$\Rightarrow -3\le ab\le 1$

Xét $a^2+b^2=3-ab$với $-3\le ab\le 1$

$\begin{array}{c}\iff {\left(a^2+b^2\right)}^2={\left(3-ab\right)}^2\\ \iff a^4+b^4+2a^2{b}^2=9-6ab+a^2{b}^2\\ \iff a^4+b^4=-a^2{b}^2-6ab+9\end{array}$

Khi đó: $P=a^4+b^4-ab=-a^2{b}^2-6ab+9-ab=-{\left(ab\right)}^2-7ab+9=\frac{85}{4}-{\left(ab+\frac{7}{2}\right)}^2$

Vì $-3\le ab\le 1\Rightarrow \frac{1}{2}\le ab+\frac{7}{2}\le \frac{9}{2}\iff {\left(ab+\frac{7}{2}\right)}^2\le \frac{81}{4}$

Suy ra $P=\frac{85}{4}-{\left(ab+\frac{7}{2}\right)}^2\ge \frac{85}{4}-\frac{81}{4}=1\iff P\ge 1$

Dấu $"="$xảy ra khi $ab=1$và $a^2+b^2=2\Rightarrow \left(\begin{array}{c}a=\mathrm{1,}b=1\\ a=-\mathrm{1,}b=-1\end{array}\right)$

Ta lại có: $P=-{\left(ab\right)}^2-7ab+9=\left(ab+3\right)\left(-ab-4\right)+21$

Mà $-3\le ab\le 1$nên $\left(\begin{array}{c}ab+3\ge 0\\ -ab-4<0\end{array}\right)$nên $\left(ab+3\right)\left(-ab-4\right)+21$

Dấu $"="$xảy ra khi $\left(\begin{array}{c}ab=-3\\ a^2+b^2+ab=3\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}ab=-3\\ {\left(a+b\right)}^2=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}a=\sqrt{3}\\ b=-\sqrt{3}\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}a=-\sqrt{3}\\ b=\sqrt{3}\end{array}\right)\end{array}\right)$

Vậy giá trị lớn nhất của P là 21, giá trị nhỏ nhất của P là 1.