Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)- Đề 11

Điều kiện : $x\ge \mathrm{0,}x\ne 25$

$P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}-\frac{\sqrt{x}+1}{5-\sqrt{x}}-\frac{5-9\sqrt{x}}{x-25}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}-\frac{5-9\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}$

$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-5\right)+\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+5\right)-5+9\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}$

$=\frac{2x+10\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+5\right)}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}$

Vậy $P=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}$

Điều kiện $x\ge \mathrm{0,}x\ne 25$

Ta có: $P<1$

$\iff \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}<1\iff \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}-1<0$

$\iff \frac{2\sqrt{x}-\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-5}<0\iff \frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-5}<0$

$\iff \sqrt{x}-5<0(do\mathrm{....}\sqrt{x}+5>0\forall x\ge \mathrm{0,}x\ne 25)$

$\iff \sqrt{x}<5\iff x<25$

Kết hợp với điều kiện $x\ge \mathrm{0,}x\ne 25$ta có $0\le x<25$

Vậy $0\le x<25$thỏa mãn bài toán

Điều kiện $x\ne 0$

$x^2+\frac{4}{x^2}-4x+\frac{8}{x}=9$

$\iff x^2-4+\frac{4}{x^2}-4\left(x-\frac{2}{x}\right)+4=9$

$\iff {\left(x-\frac{2}{x}\right)}^2-4\left(x-\frac{2}{x}\right)-5=0(*)$

Đặt $x-\frac{2}{x}=t,$khi đó phương trình (*) trở thành:

          $\begin{array}{c}{t}^2-4t-5=0\iff t^2-5t+t-5=0\iff t\left(t-5\right)+\left(t-5\right)=0\\ \iff \left(t-5\right)\left(t+1\right)=0\iff \left(\begin{array}{c}t=5\\ t=-1\end{array}\right)\end{array}$

+)Với $t=5\Rightarrow x-\frac{2}{x}=5\iff x^2-5x-2=0\iff \left(\begin{array}{c}x=\frac{5+\sqrt{33}}{2}\left(tm\right)\\ x=\frac{5-\sqrt{33}}{2}\left(tm\right)\end{array}\right)$

+)Với $t=-1\Rightarrow x-\frac{2}{x}=-1\iff x^2+x-2=0$$\iff \left(\begin{array}{c}x=-2\left(tm\right)\\ x=1\left(tm\right)\end{array}\right)$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left(-2;\frac{5\pm \sqrt{33}}{2};1\right)$

b, $x^2-2mx+m^2-m+1=0$

$\Delta \text{'}=m^2-\left(m^2-m+1\right)\ge 0\iff m\ge 1$

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\left(\begin{array}{c}{x}_1{x}_2=m^2-m+1\\ x_1+x_2=2m\end{array}\right)$

$\begin{array}{c}{x}_2^3-2x_1^3+6m{x}_1=19\\ \iff x_2^3-2x_1^3+3x_1.2m-19=0\\ \iff x_2^3-2x_1^3+3x_1\left(x_1+x_2\right)-19=0\\ \iff x_2^3-2x_1^3+3x_1^2+3x_1{x}_2-19=0\\ \iff x_2^3+x_1^3+3x_1{x}_2-19=0\\ \iff {\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)+3x_1{x}_2-19=0\\ \iff {\left(2m\right)}^3-3.2m.\left(m^2-m+1\right)+3\left(m^2-m+1\right)-19=0\end{array}$

 

$\iff 2m^3+9m^2-9m-16=0\iff m=-1$(thỏa)

Vậy m= -1 

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abc} (a,c\in N*,b\in \mathbb{N})$

Theo đề bài ta có:

+)Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là $14\Rightarrow a+c=14\Rightarrow a=14-c\left(1\right)$

+)Chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị $\Rightarrow b=c-1 \left(2\right)$

Khi viết ngược số ban đầu ta được số mới có dạng $\overline{cba}$

Ta có số mới nhỏ hơn số ban đầu là 396

$\begin{array}{c}\overline{abc}-\overline{cba}=396\\ \iff 100a+10b+c-100c-10b-a=396\\ \iff 100a-100c+c-a=396\\ \iff 99(a-c)=396\iff a-c=4\\ \iff 14-c-c=4\iff 2c=10\\ \iff c=5\left(tm\right)\Rightarrow a=14-5=9\left(tm\right)\\ \left(2\right)\iff b=c-1=5-1=4\left(tm\right)\end{array}$

Vậy số cần tìm là 945

Ta có: $\left(\begin{array}{c}BF\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow \widehat{BEC}={90}^0\\ CF\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow \widehat{BFC}={90}^0\end{array}\right)$

Xét tứ giác BCEF có $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}={90}^0\Rightarrow$Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạn dưới các góc bằng nhau).

b, Do K là điểm đối xứng của H qua I nên I là trung điểm của HK.

Xét tứ giác BHCK có hai đường chéo BHCK cắt nhau tại I là trung điểm mỗi đường suy ra tứ giác $BC,HI$là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow BH//CK$hay $BE//CK$

Mà $BE\perp AC\left(gt\right)$nên $CK\perp AC\Rightarrow \widehat{ACK}={90}^0\Rightarrow \widehat{ACK}$là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O), do đó AK là đường kính của (O) hay ba điểm $A,O,K$thẳng hàng.

Gọi $G=OH\cap AI$ . Trong $\Delta AHK$có AI, HO là hai đường trung tuyến

$\Rightarrow G$là trọng tâm tam giác $AHK\Rightarrow \frac{AG}{AI}=\frac{2}{3}\left(1\right)$(Tính chất trọng tâm của tam giác)

Xét tam giác $ABC$ có AI là đường trung tuyến và $\frac{AG}{AI}=\frac{2}{3}\left(cmt\right)\Rightarrow G$ là trọng tâm $\Delta ABC.$

Giả sử $AD=xHD(x>1)$

Ta có:

$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{xHD}{BD}=x\tan \widehat{HBD}=x\tan \widehat{EBC}=x.\frac{EC}{BE};\tan C=\frac{BE}{EC}$

$\Rightarrow \tan B.\tan C=x.\frac{EC}{BE}.\frac{BE}{EC}=x$

Theo bài ra ta có: $\tan B.\tan C=3\iff x=3\Rightarrow AD=3HD\Rightarrow \frac{AH}{AD}=\frac{2}{3}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có:$\frac{AH}{AD}=\frac{AG}{AI}=\frac{2}{3}\Rightarrow HG//DI\Rightarrow HG//BC$(định lý Talet đảo)