Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)- Đề 1

b, Đường thẳng đi qua A(0;1) và song song với trục hoành có phương trình y=1 

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y=1  và parabol $y=\mathrm{0,25}{x}^2$, ta có:$\mathrm{0,25}{x}^2=1\iff x^2=4\iff [\begin{array}{c}x=2\Rightarrow y=1\\ x=-2\Rightarrow y=1\end{array}$

Vậy hai điểm E và F có tọa độ lần lượt là $\left(-2;1\right)$ và $\left(2;1\right)$

 $x^2-\left(m+2\right)x+2m=0(*)$

Có: $\Delta ={\left(m+2\right)}^2-4.2m=m^2+4m+4-8m=m^2-4m+4={\left(m-2\right)}^2\ge 0\left(\forall m\right)$

$\Rightarrow$Phương trình (*) luôn có hai nghiệm với mọi m

b)    Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình (*)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=m+2\\ x_1{x}_2=2m\end{array}$

Theo đề bài ta có: $-1\le \frac{2\left(x_1+x_2\right)}{x_1{x}_2}\le 1\iff -1\le \frac{2\left(m+2\right)}{2m}\le 1$

 

 

Vậy $m \le 1$thỏa mãn bài toán

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=4^2+3^2=16+9=25\Rightarrow BC=\sqrt{25}=5\left(cm\right)$

Ta có $\widehat{BFD}={90}^0$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow BF\perp FD$ hay $BF\perp FC\Rightarrow \Delta BFC$vuông tại F

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta BFC$vuông ta có:
$F{C}^2=B{C}^2-B{F}^2=5^2-3^2=16\Rightarrow FC=\sqrt{16}=4\left(cm\right)$

$S_{BFC}=\frac{1}{2}FB.FC=\frac{1}{2}\mathrm{.3.4}=6\left(c{m}^2\right)$

c)    Nhận thấy bốn điểm $B,D,F,G$cùng thuộc (O) $\Rightarrow$Tứ giác BDFG là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat{GBD}=\widehat{AFD}=\widehat{AFC}\left(1\right)$(góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét tứ giác AFBC có $\widehat{BAC}=\widehat{BFC}={90}^0\Rightarrow$Tứ giác AFBC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

Do đó: $\widehat{ABC}=\widehat{AFC}\left(2\right)$(hai góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{AC})$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{GBD}=\widehat{ABC}\Rightarrow BA$là tia phân giác của $\widehat{CBG}\left(dfcm\right)$

a, Vì số học sinh yêu thích hội họa chiếm tỉ lệ  20% so với số học sinh toàn trường , nên số học sinh yêu thích hội họa là :

$1500.20\%=300$(học sinh)

b)    Gọi số học sinh yêu thích thể thao là x (học sinh) $\left(30<x<\mathrm{1200,}x\in \mathbb{N}*\right)$

Số học sinh chọn yêu thích khác là  y (học sinh) $\left(y<\mathrm{1200,}y\in \mathbb{N}*\right)$

Số học sinh yêu thích thể thao hơn số học sinh yêu thích âm nhạc là 30 học sinh $\to$số học sinh yêu thích âm nhạc là x-30(học sinh)

Tổng số học sinh của trường là 1500 học sinh, số học sinh yêu thích hội họa là 300 học sinh nên số học sinh yêu thích thể thao, âm nhạc và các yêu thích khác :

$1500-300=1200$(học sinh)

Khi đó ta có phương trình: $x+x-30+y=1200\iff 2x+y=1230\left(1\right)$

Số học sinh yêu thích thể thao và hội họa bằng số học sinh yêu thích âm nhạc và các yêu thích khác nên ta có phương trình:$x+300=x-30+y\iff y=330\left(tm\right)$

Thay y= 330 vào phương trình (1) ta được:

$2x=1230-y=1230-330=900\iff x=450\left(tm\right)$

Suy ra số học sinh yêu thích âm nhạc : $450-30=420$(học sinh)

Vậy tổng số học sinh yêu thích thể thao và âm nhạc là:

$450+42=870$(học sinh)