Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán khu vực Hà Nội 2024 - 2025 (Đề 11)

1) Thay $x=16$ (thỏa mãn) vào biểu thức $A,$ ta có: $A=\frac{16}{\sqrt{16}-3}=\frac{16}{4-3}=16.$

Vậy giá trị của $A=16$ khi $x=16.$

2) Với $x>0,x\ne 9,$ ta có:

$B=\frac{2x-3}{x-3\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}$$=\frac{2x-3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}$$=\frac{2x-3-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}$

 $=\frac{2x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}$$=\frac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}$$=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}.$

Vậy với $x>0,x\ne 9$ thì $B=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}.$

3) Với $x>0,x\ne 9,$ ta có: $A-B=\frac{x}{\sqrt{x}-3}-\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}$$=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$$=\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\sqrt{x}-3}.$

Để $A-B<0$ thì $\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\sqrt{x}-3}<0.\left(\ast \right)$

Ta có ${\left(\sqrt{x}-1\right)}^2\ge 0$ với mọi $x\ge 0.$

Do đó từ $\left(\ast \right)$ suy ra $\{\begin{array}{l}\sqrt{x}-1\ne 0\\ \sqrt{x}-3<0\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}\sqrt{x}\ne 1\\ \sqrt{x}<3\end{array}$ nên $\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x<9.\end{array}$

Kết hợp điều kiện $x>0,x\ne 9,$ ta có: $0<x<9,x\ne 1.$

Vậy $0<x<9,x\ne 1$ thì $A-B<0.$

1) Gọi số xe tải loại lớn mà đội vận chuyển sử dụng là $x$ (xe) $\left(x\in \mathbb{N}\ast \right).$

Số xe tải loại nhỏ mà đội cần sử dụng theo kế hoạch là $x+2$ (xe).

Mỗi xe tải loại lớn vận chuyển được là $\frac{15}{x}$ (tấn).

Mỗi xe tải loại nhỏ theo kế hoạch vận chuyển được là $\frac{15}{x+2}$ (tấn).

Theo bài, mỗi xe tải lớn chở nhiều hơn mỗi xe tải loại nhỏ 2 tấn nên ta có phương trình:

$\frac{15}{x}-\frac{15}{x+2}=2$

$15\left(x+2\right)-15x=2x\left(x+2\right)$

$15x+30-15x=2x^2+4x$

$2x^2+4x-30=0$

$x=3$ hoặc $x=-5.$

Ta thấy chỉ có giá trị $x=3$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy xe tải loại lớn mà đội vận chuyển cần dùng là $3$ xe.

2) Diện tích xung quanh của bình đựng nước là:

$S_4=2\pi rh=2\pi \cdot 4\cdot 25=200\pi \approx 628(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2).$

Vậy diện tích xung quanh của bình đựng nước khoảng $628\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2.$

1) $\{\begin{array}{l}\sqrt{3x+1}+2y=4\left(1\right)\\ 3\sqrt{3x+1}-y=5\left(2\right)\end{array}$

Điều kiện $x\ge -\frac{1}{3}.$

Nhân hai vế của phương trình $\left(2\right)$ với $2,$ ta được hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}\sqrt{3x+1}+2y=4\\ 6\sqrt{3x+1}-2y=10.\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

$7\sqrt{3x+1}=14,$ suy ra $\sqrt{3x+1}=2$ nên $3x+1=4,$ do đó $x=1$ (thỏa mãn $x\ge -\frac{1}{3}).$

Thay $\sqrt{3x+1}=2$ vào phương trình $\left(1\right),$ ta được:

$2+2y=4,$ do đó $y=1.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $$\left(1;1\right).$$

2) a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của $$\left(d\right)$$ và $\left(P\right)$ là:

$x^2=\left(m-2\right)x+5$ hay $x^2-\left(m-2\right)x-5=0$

Phương trình trên có $\mathrm{\Delta }=\left[-{\left(m-2\right)}^2\right]-4\cdot 1\cdot \left(-5\right)$$={\left(m-2\right)}^2+20>0$ với mọi $m\in \mathbb{R}.$

Do đó phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy $$\left(d\right)$$ luôn cắt $$\left(P\right)$$ tại hai điểm phân biệt.

b) Theo định lí Viète, ta có: $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m-2\\ x_1{x}_2=-5.\end{array}$$

Theo bài, $x_1+5x_2=0$ nên suy ra $x_1=-5x_2.$

Kết hợp với $$x_1{x}_2=-5,$$ ta được: $-5x_2\cdot x_2=-5,$ hay $x_2^2=1,$ nên $x_2=1$ hoặc $x_2=-1.$

Trường hợp 1. $x_2=1,$ suy ra $x_1=-5,$ kết hợp với $$x_1+x_2=m-2,$$ ta được:

$-5+1=m-2,$ do đó $m=-2.$

Trường hợp 2. $x_2=-1,$ suy ra $x_1=5,$ kết hợp với $$x_1+x_2=m-2,$$ ta được:

$5+\left(-1\right)=m-2,$ do đó $m=6.$

Vậy $m\in \left\{-2;6\right\}$ là giá trị cần tìm.

Với $x>0,y>0$ ta có:

${\left(x-y\right)}^2\ge 0$

${\left(x+y\right)}^2\ge 4xy=4\left[3-\left(x+y\right)\right]$

${\left(x+y\right)}^2+4\left(x+y\right)-12\ge 0$

$\left(x+y+6\right)\left(x+y-2\right)\ge 0$

Mà $x,y$ là các số dương nên $x+y+6>0.$ Do đó $x+y\ge 2.$

Từ đó $P=\frac{3}{x+y}+x+y-3=\frac{4}{x+y}+\left(x+y\right)-\frac{1}{x+y}-3$

\[\mathop  \ge \limits^{{\rm{B\ST Cauchy}}} \]$$2\sqrt{\frac{4}{x+y}\cdot \left(x+y\right)}-\frac{1}{x+y}-3=1-\frac{1}{x+y}$$

$\ge 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{1}{2}$ khi $x=y=1.$