Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 3)

1) Theo bài ra $Q=\frac{\sqrt{x}}{x+4}$ với $x\ge 0;x\ne 1.$

Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức Q  ta có: $Q=\frac{\sqrt{4}}{4+4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$

2) Với $x\ge 0;x\ne \mathrm{1,}$ ta có:

$P=\left(\frac{x-6\sqrt{x}+1}{x-1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right):\frac{x+4}{1-x}$$=\left(\frac{x-6\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right):\frac{x+4}{1-x}$

$=\frac{x-6\sqrt{x}+1-{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot \frac{1-x}{x+4}$$=\frac{x-6\sqrt{x}+1-x+2\sqrt{x}-1}{x-1}\cdot \frac{1-x}{x+4}$

$=\frac{-4\sqrt{x}}{x-1}\cdot \frac{-\left(x-1\right)}{x+4}$$=\frac{4\sqrt{x}}{x+4}=4\cdot \frac{\sqrt{x}}{x+4}=4\cdot Q.$

Vậy $P=4Q$ với $x\ge 0;x\ne 1.$

3) Ta có $P=\frac{4\sqrt{x}}{x+4}$ với $x\ge 0;x\ne 1.$

Với $x\ge 0;x\ne 1.$ ta có $4\sqrt{x}\ge 0$ và $x+4>0$ nên $P=\frac{4\sqrt{x}}{x+4}\ge 0\left(1\right)$

Ta cũng có: $P=\frac{4\sqrt{x}}{x+4}=\frac{x+4-\left(x-4\sqrt{x}+4\right)}{x+4}=1-\frac{{\left(\sqrt{x}-2\right)}^2}{x+4}.$

Với $x\ge 0;x\ne \mathrm{1,}$ ta có ${\left(\sqrt{x}-2\right)}^2\ge 0$ và $x+4>0$ nên $\frac{{\left(\sqrt{x}-2\right)}^2}{x+4}\ge 0\Rightarrow 1-\frac{{\left(\sqrt{x}-2\right)}^2}{x+4}\le 1$ 

Hay $P\le 1\left(2\right).$

Từ (1) và (2) suy ra $0\le P\le 1.$ 

Mà P nhận giá trị là số nguyên nên $P\in \left(0;1\right).$

• Với P = 0 ta có $\frac{4\sqrt{x}}{x+4}=0\iff \sqrt{x}=0\iff x=0$ (thỏa mãn);

• Với P = 1 ta có $\frac{4\sqrt{x}}{x+4}=1\iff 4\sqrt{x}=x+4$$\iff x+4-4\sqrt{x}=0$

$\iff {\left(\sqrt{x}-2\right)}^2=0$$\iff \sqrt{x}-2=0\iff x=4$ (thỏa mãn).

Vậy $x\in \left(0;4\right)$ thì P nhận giá trị là số nguyên.

1) Với m = 2 hệ phương trình đã cho có dạng:

$\{\begin{array}{c}2x+y=3\\ -x+y=2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}3x=1\\ -x+y=2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}+y=2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{1}{3}\\ y=\frac{7}{3}\end{array}.$

Vậy với m = 2 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(\frac{1}{3};\frac{7}{3}\right).$

2) Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{c}mx+y=3\left(1\right)\\ -x+y=2\left(2\right)\end{array}.$

Từ (2) ta có $y=x+2\left(3\right)$

Thay (3) vào (1) ta được: $mx+x+2=3\iff \left(m+1\right)x=1\left(4\right).$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi phương trình (4) có nghiệm duy nhất $\iff m+1\ne 0\iff m\ne -1.$

Với $m\ne -1$ phương trình (4) có nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{m+1}.$

Từ (2) ta có $y=\frac{1}{m+1}+2=\frac{2m+3}{m+1}.$

Với $m\ne -1$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(\frac{1}{m+1};\frac{2m+3}{m+1}\right).$

Theo bài ra $x^2+y^2=10\iff {\left(\frac{1}{m+1}\right)}^2+{\left(\frac{2m+3}{m+1}\right)}^2=10$$\iff 1+{\left(2m+3\right)}^2=10{\left(m+1\right)}^2$

$\iff 1+4m^2+12m+9=10m^2+20m+10$

$\iff 6m^2+8m=0$$\iff 2m\left(3m+4\right)=0$$\iff [\begin{array}{c}m=0\\ m=\frac{-4}{3}\text{ (tm). }\end{array}$

Vậy $m\in \left\{\frac{-4}{3};0\right\}$ thỏa mãn đề bài.

a) Ta có: $\widehat{AKH}=90°$ (vì $HK\perp AB$ tại $K);$

$\widehat{AIH}=90°$ (vì $HI\perp AC$ tại I)

Xét tứ giác AKHI có:

$\widehat{AKH}+\widehat{AIH}=90°+90°=180°,$ mà hai góc này ở vị trí đối nhau.

Vậy tứ giác AKHI nội tiếp đường tròn.

Gọi bán kính đáy của hình nón là R

Do diện tích của đáy hình nón là $S=16\pi \Rightarrow \pi R^2=16\pi \Rightarrow R=4\left(\text{cm}\right).$

Theo giả thiết chiều cao của hình nón gấp 3 lần bán kính đáy nên chiều cao của hình nón là:

$h=3R=3.4=12\left(\text{cm}\right)$

Thể tích hình nón là: $V=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 16\pi \cdot 12=64\pi \left({\text{cm}}^3\right).$

Vậy thể tích hình nón là \$64\pi {\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}}^3.$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có:

$P=\frac{x{y}^3}{\frac{y^3}{2}+\frac{y^3}{2}+4}+\frac{y{z}^3}{\frac{z^3}{2}+\frac{z^3}{2}+4}+\frac{z{x}^3}{\frac{x^3}{2}+\frac{x^3}{2}+4}$

$P\le \frac{x{y}^3}{3\cdot \sqrt[3]{\frac{y^3}{2}\cdot \frac{y^3}{2}\cdot 4}}+\frac{y{z}^3}{3\cdot \sqrt[3]{\frac{z^3}{2}\cdot \frac{z^3}{2}\cdot 4}}+\frac{z{x}^3}{3\cdot \sqrt[3]{\frac{x^3}{2}\cdot \frac{x^3}{2}\cdot 4}}=\frac{x{y}^3}{3y^2}+\frac{y{z}^3}{3z^2}+\frac{z{x}^3}{3x^2}$

$P\le \frac{xy+yz+zx}{3}$

Lại có ${\left(x-y\right)}^2+{\left(y-z\right)}^2+{\left(z-x\right)}^2\ge \mathrm{0,}\forall x,y,z$

$\iff x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$

$\iff {\left(x+y+z\right)}^2\ge 3\left(xy+yz+zx\right)$

$\iff xy+yz+zx\le \frac{\left(x+y+z\right)}{3}=\frac{6^2}{3}=12$

$\Rightarrow P\le \frac{12}{3}=4$

Dấu "=" xảy ra khi $\left(\begin{array}{c}x=y=z\\ x+y+z=6\end{array}\iff x=y=z=2\right).$

Vậy $\text{Max}P=4\iff x=y=z=2$.