Đề tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026-2027 (Chung) Sở Thanh Hóa (có đáp án)

a) $2x^2+3x-5=0$

Ta có: $a=2,b=3,c=-5$

$\Delta =b^2-4ac=3^2-4\cdot 2\cdot \left(-5\right)$

$\Delta =9+40=49$

Vì $\Delta >0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-3+7}{4}=1$;

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-3-7}{4}=-\frac{5}{2}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x\in \left\{1;\frac{-5}{2}\right\}$.

b) $\{\begin{array}{l}3x-y=6\\ x+2y=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}6x-2y=12\\ x+2y=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}7x=14\\ x+2y=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(2;0\right)$.

Với $x\ge 0;x\ne 1$ ta có:

$A=\frac{2x+3\sqrt{x}-8}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\sqrt{x}+2}$

$A=\frac{2x+3\sqrt{x}-8-\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)+2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$A=\frac{2x+3\sqrt{x}-8-x+4+2\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$A=\frac{x+5\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$A=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$A=\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+2}$.

Để phương trình $x^2-3x+m-3=0$ có hai nghiệm $x_1;x_2$ thì $\Delta >0$ tức là ${\left(-3\right)}^2-4\left(m-3\right)>0$ hay $m<\frac{21}{4}.$

Áp dụng hệ thức Viète ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3\\ x_1{x}_2=m-3\end{array}$

Vì $x_2$ là một nghiệm của phương trình trên nên ta có:

$x_2^2-3x_2+m-3=0$ suy ra $x_2^2-3x_2=3-m$

Theo bài, $x_2^2+4x_2\left(x_1-1\right)-x_1=m-2$ ta có

$x_2^2+4x_1{x}_2-4x_2-x_1=m-2$

$\left(x_2^2-3x_2\right)+4x_1{x}_2-\left(x_2+x_1\right)=m-2$

$3-m+4\left(m-3\right)-3=m-2$

$2m=10$

$m=5(\mathrm{tm})$

Vậy $m=5$.

Gọi số tiền hộ kinh doanh vay ở ngân hàng X là x triệu đồng ($0<x<700$).

Gọi số tiền hộ kinh doanh vay ở ngân hàng Y là y triệu đồng ($0<y<700$).

Theo đề bài, tổng số tiền vay là 700 triệu đồng, nên: $x+y=700$ (1)

Lãi suất ngân hàng X là 8%/năm, nên tiền lãi sau một năm là: 0,08x triệu đồng

Lãi suất ngân hàng Y là 9%/năm, nên tiền lãi sau một năm là: 0,09y triệu đồng

Tổng tiền lãi sau một năm là 58 triệu đồng, nên: $0,08x+0,09y=58$ (2)

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=700\\ 0,08x+0,09y=58\end{array}$

Từ phương trình thứ nhất: $x=700-y$

Thay vào phương trình thứ hai:

$0,08\left(700-y\right)+0,09y=58$

$56-0,08y+0,09y=58$

$0,01y=2$

$y=200$

Suy ra: $x=700-200=500$

Vậy hộ kinh doanh đã vay từ ngân hàng X là 500 triệu đồng, Ngân hàng Y là 200 triệu đồng.

a) Vì \(MA,MB\) là các tiếp tuyến của $$\left(O\right)$$ lần lượt tại $A,B$ nên $MA\perp OA,MB\perp OB.$

$\Delta MAO$ vuông tại $A$ nên $\Delta MAO$ nội tiếp đường tròn đường kính $MO$

$\Delta MBO$ vuông tại $B$ nên $\Delta MBO$ nội tiếp đường tròn đường kính $MO$

Suy ra bốn điểm $M,A,O,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO.$

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $MA=MB$ nên $M$ thuộc đường trung trực của $AB$

Mà $OA=OB=R$ nên $O$ thuộc đường trung trực của $AB$

Do đó, $MO$ là đường trung trực của $AB$

Mà $OM$ cắt $AB$ tại $I$ nên $OM\perp AB$ và $I$ là trung điểm của $AB$.

Xét $\Delta OAI$ và $\Delta OMA$ có: $\widehat{OIA}=\widehat{OAM}=90^{\circ },\widehat{AOM}$ chung

Do đó $\Delta OAI\backsim \Delta OMA$ (g.g).

Suy ra $\frac{OA}{OM}=\frac{OI}{OA}$ hay $OM\cdot OI=O{A}^2=R^2$ (1)

Xét $\Delta OIK$ và $\Delta OHM$ có: $\widehat{OIK}=\widehat{OHM}=90^{\circ },\widehat{HOM}$ chung

Do đó $\Delta OIK\backsim \Delta OHM$ (g.g)

Suy ra $\frac{OI}{OH}=\frac{OK}{OM}$ hay $OI\cdot OM=OH\cdot OK$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OH\cdot OK=R^2$.

c) Gọi $E\prime$ là giao điểm của $AC$ và $OM$. Ta chứng minh $E\prime$ là trung điểm của $MI$.

Vì $ME\prime //AD$ nên $\widehat{E\prime MC}=\widehat{CDA}$ (hai góc so le trong).

Xét $\Delta ME\prime C$ và $\Delta DAC$ có: $\widehat{E\prime MC}=\widehat{CDA},\widehat{MCE\prime }=\widehat{ACD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó $\Delta ME\text{'}C\backsim \Delta DAC$ (g.g).

Suy ra  $\frac{ME\prime }{DA}=\frac{MC}{DC}$ (3)

Xét đường tròn $$\left(O\right)$$ có: $\widehat{BCD}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét $\Delta MCB$ và $\Delta BCD$ có: $\widehat{MCB}=\widehat{BCD}=90^{\circ },\widehat{MBC}=\widehat{BDC}(=90^{\circ }-\widehat{CBD})$

Do đó $\Delta MCB\backsim \Delta BCD$ (g.g), suy ra $\frac{MC}{BC}=\frac{CB}{CD}=\frac{MB}{BD}$.

Khi đó $\frac{MC}{DC}=\frac{MC}{BC}\cdot \frac{CB}{CD}={\left(\frac{MB}{BD}\right)}^2={\left(\frac{MB}{2R}\right)}^2$ (4)

Xét $\Delta ABD$ có $I,O$ lần lượt là trung điểm của $BA,BD$ nên $IO$ là đường trung bình của $\Delta ABD$ hay $IO=\frac{1}{2}AD$ (5)

Xét $\Delta MIB$ và $\Delta BIO$ có: $\widehat{MIB}=\widehat{BIO}=90^{\circ },\widehat{MBI}=\widehat{BOI}(=90^{\circ }-\widehat{IBO})$

Do đó $\Delta MIB\backsim \Delta BIO$ (g.g) suy ra  $\frac{MI}{BI}=\frac{IB}{IO}=\frac{MB}{BO}$

Khi đó $\frac{MI}{IO}=\frac{MI}{BI}\cdot \frac{IB}{IO}={\left(\frac{MB}{BO}\right)}^2={\left(\frac{MB}{R}\right)}^2$ (6)

Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra $\frac{ME\prime }{DA}=\frac{MC}{DC}=\frac{M{B}^2}{4R^2}=\frac{MI}{4IO}=\frac{MI}{2AD}$

Nên $$MI=2M{E}^{\prime }$$  hay $E^{\prime }$ là trung điểm của $$MI$$.

Do đó, $E^{\prime }$ trùng $$E$$ nên ba điểm $$A,C,E$$ thẳng hàng.

a) Hình chữ nhật $$ABCD$$ nội tiếp đường tròn tâm $$O$$ đường kính $$AC$$

Theo định lý Pythagore cho $\Delta DAC$ vuông tại $$D$$ thì:

$A{C}^2=D{A}^2+D{C}^2=x^2+y^2$ nên $AC=\sqrt{x^2+y^2}$ (m).

Bán kính của hình tròn đường kính $$AC$$ là: $R=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}(\mathrm{m})$

Diện tích của hình tròn đường kính $$AC$$ là:

$S_{\mathrm{tron}}=\pi \cdot R^2=\pi \cdot {\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}\right)}^2=\frac{\pi }{4}\left(x^2+y^2\right)$ (m2).

Diện tích phần đất làm khu sinh thái là:

$S=S_{\mathrm{tron}}-S_{\mathrm{ABCD}}=\frac{\pi }{4}\left(x^2+y^2\right)-67500$ (m2).

b) Bài toán trở thành: Cho $x;y\in \mathbb{N}$ thỏa mãn $xy=67500$. Tìm giá trị nhỏ nhất của S.

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\le y$

Khi đó, $x^2\le xy=67500$ nên $x\le \sqrt{67500}=259,\mathrm{807...}$

Vì $x\in \mathbb{N}$ nên $x\le 259$ Mà $x\in$Ư$\left(67500\right)$ nên $x\le 250$ (vì các số 251; 252; 253;.; 259 đều không là ước của 67500)

$\mathrm{Suyra}y=\frac{67500}{x}\ge \frac{67500}{250}=270$

Do đó, ta có bất đẳng thức:

$\left(x-250\right)\left(y-250\right)\le 0$

$xy-250\left(x+y\right)+62500\le 0$

$250\left(x+y\right)\ge 67500+62500=130000$

$x+y\ge 520$

Suy ra $x^2+y^2={\left(x+y\right)}^2-2xy\ge 520^2-2\cdot 67500=135400$

$\mathrm{N}\hat{\mathrm{e}}\mathrm{n}S\ge 135400\cdot \frac{\pi }{4}-67500=33850\pi -67500$ (m2)

Dấu “=” xảy ra khi $x=250$ và $y=270$.

Khi đó, chu vi của mảnh đất $$ABCD$$ là $2\left(x+y\right)=2\cdot \left(250+270\right)=1040$ (m).