Đề tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026-2027 (Chung) Sở Hà Tĩnh (có đáp án) - Mã đề 01

Hướng dẫn giải

Với $x>0$ và $x\ne 9$, ta có:

$A=\left(\frac{1}{\sqrt{x}+3}+\frac{3}{x-9}\right)\cdot \frac{x-9}{3x}$

$=\left[\frac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{3}{x-9}\right]\cdot \frac{x-9}{3x}$

$=\frac{\sqrt{x}-3+3}{x-9}\cdot \frac{x-9}{3x}=\frac{\sqrt{x}}{3x}=\frac{1}{3\sqrt{x}}$.

Vậy $A=\frac{1}{3\sqrt{x}}$ với $x>0,x\ne 9$.

Xét phương trình $x^2-3x-6=0$ có $\Delta ={\left(-3\right)}^2-4.\left(-6\right)=9+24=33>0$.

nên suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Viète: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=3\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}=-6\end{array}$

Khi đó

$T=\frac{2x_1}{x_2+1}+\frac{2x_2}{x_1+1}=\frac{2x_1\left(x_1+1\right)+2x_2\left(x_2+1\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}$

$\begin{array}{l}=\frac{2x_1^2+2x_1+2x_2^2+2x_2}{x_1{x}_2+x_1+x_2+1}\\ =\frac{2{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)}{x_1{x}_2+\left(x_1+x_2\right)+1}\\ =\frac{2\cdot 3^2-4\left(-6\right)+2\cdot 3}{-6+3+1}=\frac{48}{-2}=-24.\end{array}$

Vậy $T=-24$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}2x-y=6\\ x+2y=4\end{array}$, tương đương với $\{\begin{array}{l}4x-2y=6\\ x+2y=4\end{array}$, hay là $\{\begin{array}{l}5x=10\\ x+2y=4\end{array}$

Hay ta có $x=2$. Thay vào $x+2y=4$ thì $2+2y=4$, dẫn đến $y=1$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(2;1\right)$.

a) Không gian mẫu của phép thử là:

$\Omega =\left\{\left(1;4\right);\left(1;5\right);\left(1;6\right);\left(2;4\right);\left(2;5\right);\left(2;6\right);\left(3;4\right);\left(3;5\right);\left(3;6\right)\right\}$

Như vậy, có tất cả 9 khả năng.

Mặt khác, để thỏa mãn biến cố $A$: “Tổng hai số trên hai thẻ rút ra là một số lẻ.”

thì có tất cả các khả năng sau thỏa mãn: $A=\left\{\left(1;4\right);\left(1;6\right);\left(2;5\right);\left(3;4\right);\left(3;6\right)\right\}$

nên số phần tử của $A$ là 5.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{5}{9}$.

b) Đổi 20 phút $=\frac{1}{3}$ giờ.

Gọi vận tốc ban đầu của ô tô đó là $x$ (km/h) ($x>0$).

Thời gian dự định ô tô đi từ A đến B là $\frac{180}{x}$ (giờ). Sau 1 giờ, ô tô đi được $x$ (km).

Khi này, quãng đường còn lại xe cần đi là $180-x$ (km).

Để đến B đúng thời gian quy định, người lái ô tô đã tăng vận tốc $x+12$ (km/h).

Thời gian ô tô đi trong quãng đường còn lại là $\frac{180-x}{x+12}$ (giờ).

Do ô tô đến B đúng thời gian đã định nên ta có phương trình:

$\frac{180}{x}=1+\frac{1}{3}+\frac{180-x}{x+12}$

$\frac{180}{x}=\frac{4}{3}+\frac{180-x}{x+12}$

$\frac{180}{x}=\frac{x+588}{3\left(x+12\right)}$

$3.180\left(x+12\right)=x\left(x+588\right)$

$x^2+48x-6480=0$

$\left(x-60\right)\left(x+108\right)=0$

Suy ra $x-60=0$ (do $x>0$ nên $x+108>0$)

           $x=60$ (km/h), thỏa mãn điều kiện đề bài.

Vậy vận tốc ban đầu của xe ô tô là 60 km/h.

a) Theo tính chất tiếp tuyến thì ta có \(\widehat {AMO} = \widehat {ANO} = 90^\circ \) nên hai điểm $M,N$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AO.$

Như vậy tứ giác $AMON$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $AO.$

Vậy bốn điểm $A,M,O,N$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $AP.AQ=A{M}^2$:

Xét $\Delta PAM$ và $\Delta MAQ$ có $$\widehat{AMQ}$$ là góc chung và $$\widehat{AMP}=\widehat{AQM}$$

Suy ra $\Delta PAM\backsim \Delta MAQ$ (g.g), nên $\frac{AM}{AQ}=\frac{AP}{AM}$, hay $A{M}^2=AP.AQ$.

*) Chứng minh $HJ$ vuông góc với $MI$:

Xét $\Delta OMA$ và $\Delta OHM$ có $\widehat{MOH}$ là góc chung và $\widehat{OHM}=\widehat{OMA}=90^{\circ }$

Suy ra $\Delta OMA\backsim \Delta OHM$ (g.g).

Dẫn đến $\frac{OH}{OM}=\frac{OM}{OA}$ hay $\frac{OH}{OP}=\frac{OP}{OA}=\frac{OP-OH}{OA-OP}=\frac{OP+OH}{OA+OP}=\frac{OH+OQ}{OA+OQ}$ tức là $\frac{HP}{AP}=\frac{HQ}{AQ}\left(1\right).$

Ta sẽ chứng minh $I{H}^2=IP.IQ$.

Thật vậy: (1) tương đương $\frac{AQ}{AP}=\frac{HQ}{HP}$.

Mặt khác: $\frac{AQ}{AP}=\frac{IA+IQ}{IP+IA};\frac{HQ}{HP}=\frac{IQ-IH}{IH-IP}.$

Mà $IA=IH$ nên $\frac{IQ+IA}{IA+IP}=\frac{IQ-IH}{IH-IP}.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta suy ra được $\frac{IH}{IP}=\frac{IQ}{IH}$, nên $I{H}^2=IP.IQ$.

Xét $\Delta IPJ$ và $\Delta IMQ$ có $\widehat{MIQ}$ là góc chung và $\widehat{IPJ}=\widehat{IMQ}$ (Do tứ giác $PJMQ$ nội tiếp đường tròn)

Suy ra $\Delta IPJ\backsim \Delta IMQ$ (g.g), dẫn đến $\frac{IP}{IM}=\frac{IJ}{IQ}$, hay $IP.IQ=IM.IJ$.

Từ đây suy ra $I{H}^2=IM.IJ$, tương đương với $\frac{IH}{IM}=\frac{IJ}{IH}$

Xét $\Delta IHJ$ và $\Delta IMH$ có $\widehat{MIQ}$ là góc chung và $\frac{IH}{IM}=\frac{IJ}{IH}$

Do đó $\Delta IHJ\backsim \Delta IMH$ (c.g.c), nên là $\widehat{IJH}=\widehat{IHM}=90^{\circ }$, hay $HJ\perp MI$.

a) Đặt bán kính mặt cầu là $R=6$ dm và gọi chiều cao của hình nón là $h$ (dm) $\left(0\le h\le 2R=12\right).$

Khi đó, khoảng cách từ tâm mặt cầu đến tâm của đáy nón là $\left|R-h\right|=\left|6-h\right|$ (dm).

Đặt bán kính đáy là $r$ (dm), theo định lý Pythagore, ta có:

$r^2+{\left|R-h\right|}^2=R^2$

$r^2+{\left(6-h\right)}^2=6^2$

Suy ra $r^2=36-\left(h^2-12h+36\right)=12h-h^2$

Do đó, theo bất đẳng thức Cauchy 3 số vào thể tích hình nón, ta có:

$V_{non}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{\pi }{3}h\left(12h-h^2\right)=\frac{4\pi }{3}\left(12-h\right)\cdot \frac{h}{2}\cdot \frac{h}{2}\le \frac{4\pi }{3}{\left(\frac{12-h+\frac{h}{2}+\frac{h}{2}}{3}\right)}^3=\frac{256\pi }{3}$ (dm3).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $12-h=\frac{h}{2}$ hay $h=8$ (dm).

Vậy thể tích hình nón có giá trị lớn nhất là $\frac{256\pi }{3}$ dm3 khi chiều cao của hình nón là 8 dm.

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$3=a+b+ab\ge ab+2\sqrt{ab}$ suy ra $\left(\sqrt{ab}-1\right)\left(\sqrt{ab}+3\right)\le 0$

Vì $\sqrt{ab}>0$ nên $\sqrt{ab}-1\le 0$, hay là $ab\le 1$.

Khi đó $a+b=3-ab\ge 3-1=2$, suy ra $a^2+b^2\ge \frac{{\left(a+b\right)}^2}{2}\ge \frac{2^2}{2}=2$

$P=\frac{2a^2{b}^2+3}{ab}-\frac{4}{a^2+b^2}+3=\left(2ab+\frac{2}{ab}\right)+\frac{1}{ab}-\frac{4}{a^2+b^2}+3$

$\stackrel{BDTCauchy}{\ge }\mathrm{2.2.}\sqrt{ab.\frac{1}{ab}}+\frac{1}{1}-\frac{4}{2}+3$

$=4+1+3-2=6.$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là 6 khi $a=b=1$.